Đã đăng: Phần 1: Một chút về dương lịch
Âm lịch ở Việt Nam là một loại lịch thiên văn. Nó được tính toán dựa trên sự chuyển động của mặt trời, trái đất và mặt trăng. Ngày tháng âm lịch được tính dựa theo các nguyên tắc sau:

• Ngày đầu tiên của tháng âm lịch là ngày chứa điểm Sóc


• Một năm bình thường có 12 tháng âm lịch, một năm nhuận có 13 tháng âm lịch


• Đông chí luôn rơi vào tháng 11 âm lịch


• Trong một năm nhuận, nếu có 1 tháng không có Trung khí thì tháng đó là tháng nhuận. Nếu nhiều tháng trong năm nhuận đều không có Trung khí thì chỉ tháng đầu tiên sau Đông chí là tháng nhuận


• Việc tính toán dựa trên kinh tuyến 105° đông.

Một số thuật ngữ:

• Sóc (New moon) là thời điểm hội diện, đó là khi trái đất, mặt trăng và mặt trời nằm trên một đường thẳng và mặt trăng nằm giữa trái đất và mặt trời. (Như thế góc giữa mặt trăng và mặt trời bằng 0 độ). Gọi là "hội diện" vì mặt trăng và mặt trời ở cùng một hướng đối với trái đất. Chu kỳ của điểm Sóc là khoảng 29,5 ngày. Ngày chứa điểm Sóc được gọi là ngày Sóc, và đó là ngày bắt đầu tháng âm lịch.


• Trung khí (Major solar term) là các điểm chia đường hoàng đạo thành 12 phần bằng nhau. Trong đó, bốn Trung khí giữa bốn mùa là đặc biệt nhất: Xuân phân (khoảng 20/3), Hạ chí (khoảng 22/6), Thu phân (khoảng 23/9) và Đông chí (khoảng 22/12).
  

Bởi vì dựa trên cả mặt trời và mặt trăng nên lịch Việt Nam không phải là thuần âm lịch mà là âm-dương-lịch. Theo các nguyên tắc trên, để tính ngày tháng âm lịch cho một năm bất kỳ trước hết chúng ta cần xác định những ngày nào trong năm chứa các thời điểm Sóc . Một khi bạn đã tính được ngày Sóc, bạn đã biết được ngày bắt đầu và kết thúc của một tháng âm lịch: ngày mùng một của tháng âm lịch là ngày chứa điểm sóc. Sau khi đã biết ngày bắt đầu/kết thúc các tháng âm lịch, ta tính xem các Trung khí rơi vào tháng nào để từ đó xác định tên các tháng và tìm tháng nhuận.

Nhân dịp đầu năm 2009, MathVn.Com xin gửi đến bạn đọc chùm bài viết về Lịch và Toán. Ta sẽ bắt đầu với lịch của phương Tây và đôi điều thú vị về nó.

Một chút về lịch sử
Lịch Julius do hoàng đế Julius Caesar đưa ra vào năm 45 trước Công nguyên. Lịch Julius chia thành 12 tháng với 365 ngày, cứ 4 năm thì thêm một ngày vào cuối tháng 2 tạo thành năm nhuận. Vì vậy theo lịch Julius thì một năm có 365,25 ngày. Nhưng độ dài của năm mặt trời là 365,242216 ngày cho nên lịch Julius dài hơn khoảng 0,0078 ngày trong một năm, tức là khoảng 11 phút 14 giây.

Để bù vào sự khác biệt này thì cứ 400 năm ta sẽ bỏ bớt đi 3 ngày năm nhuận. Cho đến năm 1582, thì sự sai biệt đã lên đến 10 ngày. Giáo Hoàng Gregory XIII quyết định bỏ 10 ngày trong tháng 10 năm đó để cho lịch và mùa màng tương ứng trở lại. Sau ngày 4 tháng 10 năm 1582 là ngày 15 tháng 10. Và để tránh sai biệt, lịch lấy năm nhuận là năm có số thứ tự chia chẵn cho 4 (như năm 1964, 1980, 2004, ...) và các năm tận cùng bằng 00 phải chia chẵn cho 400 mới là năm nhuận (năm 2000 chia chẵn cho 4 và 400 nên là năm nhuận, những năm 1700 1800 và 1900 chia chẵn cho 4 nhưng không chia chẵn cho 400 nên không phải là năm nhuận, ...). Lịch đã sửa mang tên lịch Gregory và được áp dụng cho đến bây giờ.

Một quy luật thú vị.

Lấy lịch của một tháng bất kì. Bạn hãy chọn bốn ngày sao cho nó tạo thành một ô vuông (như ô màu đỏ ở hình trên). Hãy cho tôi biết tổng của 4 ngày đó và tôi sẽ trả lời được các ngày mà bạn đã chọn.
Chẳng hạn, tổng của chúng là 104 (như trên) thì kết quả là 22.
Quy luật của nó là gì?
Gọi số đầu tiên là n. Khi đó số bên cạnh nó là n + 1 số phía dưới nó là n + 7 và số còn lại n + 8. Tính tổng 4 số này, n + n + 1 + n + 7 + n + 8=4n+16. Khi bạn đã biết tổng là S thì việc giải một phương trình bậc nhất đơn giản sẽ cho ra kết quả.

(Còn tiếp...)

Trong phần 2, chúng tôi có nói về quy tắc Siamese để lập ma phương lẻ nhưng chưa chi tiết. Bây giờ xin nói kĩ hơn theo yêu cầu của một số bạn đọc, thông qua ma phương 5 x 5.

• Số 1 luôn viết ở ô chính giữa của dòng 1.
• Khi mũi tên đi ra ngoài 1 cạnh thì sẽ đi vào cạnh đối diện với cạnh đó (xem vòng màu lam và vòng màu đỏ)
• Khi mũi tên gặp góc trên cùng bên phải (ở đây là ô chứa số 15) thì sẽ chạy xuống ô nằm ngay bên dưới (Vòng màu lục)
• Khi mũi tên gặp 1 ô đã có số trong đó rồi (Vòng màu vàng, ô chứa số 1) thì sẽ đi xuống ô nằm ngay bên dưới.Cứ như thế cho đến khi hết các ô trong ma phương.

Tiếp theo, chúng tôi giới thiệu thêm một cách khác để giải ma phương bậc chẵn dạng 4n+2 sử dụng Siamese. Đặt x=4n+2 và thực hiện các phép toán sau (x^2)/2, (3x^2)/4, (x^2)/4. Chẳng hạn, xét n=3, khi đó x = 4x3 + 2 = 14 và (x^2)/2 = (14^2)/2 = 98,(3x^2)/4 = 147, (x^2)/4 = 49. Chia ma phương 14 x 14 thành 4 ma phương nhỏ 7 x 7.

• Dùng Siamese, điền số vào ma phương nhỏ 7 x 7 nằm ở trên bên trái. Sau đó copy nó vào 3 ma phương nhỏ còn lại, tức là 4 ma phương nhỏ này hoàn toàn giống nhau, ta có bảng 1:

• Thay các số 0,(x^2)/2 = (14^2)/2 = 98,(3x^2)/4 = 147,(x^2)/4 = 49 vào ma phương trống 14x14 ta được bảng 2:
  

• Cộng bảng 1 và bảng 2 với nhau thì được bảng 3:
  

• Lập bảng 4, gồm các số cần cộng thêm hay trừ đi như sau:
  Đối với ô 7 x 7 màu trắng (tức là ô 7 x 7 ở trên bên trái) thì: n=3 cột đầu tiên là cộng thêm (3x^2)/4 = 147. Nhưng đối với hàng giữa thì ô đầu tiên không thay đổi, n=3 ô tiếp theo cộng thêm (3x^2)/4 = 147.
  Đối với ô 7 x 7 màu vàng (tức là ô 7 x 7 ở dưới bên trái) thì: n=3 cột đầu tiên là trừ đi (3x^2)/4 = 147. Nhưng đối với hàng giữa thì ô đầu tiên không thay đổi, n=3 ô tiếp theo trừ đi (3x^2)/4 = 147.
  Đối với ô 7 x 7 màu xanh (tức là ô 7 x 7 ở trên bên phải) thì: n-1=2 cột đầu tiên (tính từ phải sang) là trừ đi (x^2)/4 = 49.
  Đối với ô 7 x 7 màu hồng (tức là ô 7 x 7 ở dưới bên phải) thì: n-1=2 cột đầu tiên (tính từ phải sang) là cộng thêm (x^2)/4 = 49.

• Lấy bảng 3 cộng với bảng 4 ta có bảng 5 là kết quả cần tìm.
  

Đã đăng: Ma phương: Phần 1: Cách lập ma phương lẻ - Phần 2: Cách lập ma phương chẵn

Những hình ảnh gây ảo giác - Phần 4. Đây là những kiệt tác nghệ thuật. Hãy quan sát thật kĩ, bạn sẽ thấy nhiều điều thú vị !














Bài liên quan:

• Hình gây ảo giác: Phần 1 - Phần 2 - Phần 3 - Phần 4 - Phần 5
  
• Tranh của Escher: Phần 1 - Phần 2 - Phần 3
  

Cách lập Ma phương chẵn:

Nói chung là phức tạp hơn ma phương lẻ và ta chia chúng ra 2 loại là ma phương cấp 4n (n >= 1) và cấp 4n + 2 (n >= 1).
Đối với ma phương cấp 4n thì chỉ cần chia hình vuông ra làm các nhóm nhỏ mỗi nhóm có 4 dòng, 4 cột. Vẽ tất cả các đường chéo chính của các nhóm nhỏ này. Sau đó thì ta tiến hành đánh số từ trái qua phải, từ trên xuống dưới đối với các ô nằm trên các đường chéo.

Sau đó ta lại đánh số từ phải sang trái, từ dưới lên trên đối với các ô còn lại.

Đối với ma phương cấp 4n + 2 ( không có ma phương cấp 2). Ta sẽ chia nhỏ hình vuông ra các ô lớn. Mỗi ô lớn có 2 ô dọc, 2 ô ngang. Sau đó thì tiến hành đi các ô lớn như cách di chuyển khi thiết lập ma phương lẻ. Kết hợp với quy tắc đi riêng cho các ô nhỏ (quy tắc LUX(nguồn gốc của nó là do các cách viết ở hình vẽ dưới đây của J. H. Conway). Trong đó 1 ma phương sẽ có tổng cộng n + 1 dòng L, đúng 1 dòng U và n – 1 dòng X. Luôn có 1 chữ U ở trung tâm ma phương và ta sẽ hoán đổi vị trí với L trên nó. Sau đó dùng phương pháp Siamese cho ma phương lẻ cho ô chính giữa hàng trên cùng ta có kết quả. Nội dung phương pháp Siamese: Bắt đầu từ số 1(chính giữa ở hàng cuối cùng) đi theo hướng mũi tên đến số 3(ô cuối của mũi tên), sau đó chuyển số 3 qua phía đối diện, ...còn lại bạn đọc tự rút ra quy luật.

Áp dụng cho ma phương cấp 10. Lúc này ta có n = 2 nên sẽ có n + 1 = 3 dòng chữ L, 1 dòng chữ U và n – 1 = 1 dòng chữ X. Kết hợp Siamese cho ma phương lẻ và LUX ta có kết quả.

Ngoài ra các bạn có thể xem thêm những điều thú vị khác về ma phương ở các link sau:

1. Tô Đồng, Một Vài Đặc Tính Của Ma Phương, Download
2. Mutsumi Suzuki, Magic squares, Link
3. Mathforum http://mathforum.org/alejandre/magic.square.html
4. Mathworld http://mathworld.wolfram.com/MagicSquare.html

Xem thêm:
Phần 1 - Cách lập ma phương lẻ
Phần 3 - Quy tắc Siamese

Ma phương (phương là vuông, ma thì ai cũng biết) là một ma trận vuông được tạo ra từ một dãy số nguyên liên tiếp (hoặc là các số hạng liên tiếp của một cấp số cộng gồm các số tự nhiên với công sai là D, số hạng đầu là a, trong đó tổng các phần tử nằm trên mỗi hàng, mỗi cột và đường chéo chính đều có giá trị như nhau gọi là hằng số ma phương. Hằng số này lần lượt bằng

và

Cũng vì tính chất này mà người ta đã gọi nó là magic square (hình vuông ma thuật).
Ma phương đã được biết đến từ rất lâu như trong Hà Đồ, Lạc Thư của người Trung Quốc (xem hình trên). Ngày nay người ta đã biết đến rất nhiều loại ma phương và các đồ hình biến hóa của chúng. Trong bài viết này ta sẽ trình bày về cách thiết lập các ma phương. Ma phương gồm hai loại chính là ma phương lẻ và ma phương chẵn.
Cách lập Ma phương lẻ:
Vẽ một hình vuông chính với các ô lưới bên trong với số dòng và cột như ma phương mốn thiết lập. Sau đó vẽ thêm các ô vuông phụ từ 4 cạnh theo kểu tháp ta được một hình phụ. Sau đó các bạn đánh số liên tiếp trên các ô vuông nằm trên đường chéo của hình mới này. Sau đó chuyển các số trên các ô vuông phụ vào trong hình vuông chính trong đó các số ở ngoài cùng bên phía trái qua ô vuông trống phía ngoài cùng bên đối diện của hình vuông chính.
Chẳng hạn xét một ma phương cấp 5

Một ma phương thì có nhiều lời giải cho nó, ví dụ như ma phương cấp 3

Xem thêm:
Phần 2: Cách lập ma phương chẵn
Phần 3: Quy tắc Siam

Năm 2006, Plouffe đã tìm ra một công thức tuyệt đẹp!?

Trong phần 5, có một công thức cũng đẹp không kém của thần đồng Ramanujan (Ấn Độ). Và đây là một loạt công thức khác của thiên tài này

Đã đăng:

• Số PI: Phần 1 - Phần 2 - Phần 3 - Phần 4 - Phần 5
  

Ngày xửa ngày xưa, nhiều người từng nghĩ luôn là số nguyên tố cho mọi n nguyên tố nhưng vào năm 1563 Hudalricus Regius đã chỉ ra rằng không phải là số nguyên tố. Vào năm 1603 Pietro Cataldi đã kiểm chứng 1 cách chính xác rằng khi n=17, 19 thì là số nguyên tố và dự đoán điều đó cũng đúng khi n=23, 29, 31, 37. Tuy nhiên vào năm 1640 Fermat đã chỉ ra suy đoán của Cataldi sai với trường hợp 23 và 37 và năm 1738 Euler cũng chỉ ra trường hợp n=29 là sai.

Năm 1644 một giáo sĩ người Pháp là Marin Mersenne (1588-1648) trong lời tựa của cuốn "Cogitata Physica-Mathematica" (1644) (Tạm dịch là "những khái niệm Toán học và Vật lí") đã sắp xếp ra 11 giá trị của n để là số nguyên tố, đó là các giá trị :2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 và 257. Không khó khăn gì có thể tra ra 11 giá trị trên đều là số nguyên tố. Không lâu sau có người còn chứng minh được nếu là số nguyên tố thì n nhất định là số nguyên tố, nhưng cần chú ý là điều ngược lại không đúng : nghĩa là khi n là số nguyên tố thì không nhất định là số nguyên tố. Thí dụ như các trường hợp đã nói ở trên.

Từ đó để tưởng niệm công lao của ông giáo sĩ , người ta gọi tất cả các số nguyên tố có dạng là số nguyên tố Merssenne.

Tuy Mersene đưa ra 11 giá trị n để là số nguyên tố nhưng ông không không chứng minh được tất cả 11 giá trị của n ,nguyên nhân chủ yếu là con số lớn khó phân giải khi n=2, 3, 5, 7, 13, 17, 19 thì tương ứng là :

3, 7, 31, 127, 8191, 13107, 524287.

Bởi vì những con số này đều tương đối nhỏ nên ta đã chứng minh được ra chúng đều là số nguyên tố. Năm 1772 nhà toán học Euler ở tuổi 65, đôi mắt đã hoàn toàn mất thị lực với thiên tài tính nhẩm siêu việt đã chứng minh được khi n có giá trị là 31 thì số là một số nguyên tố.

Còn các giá trị n=67, 127, 257 thì 3 số tương ứng có phải là số nguyên tố không thì sau một thời gian dài không ai chứng minh tiếp.

Sau khi Mersene qua đời được 250 năm, 1903 trong một cuộc hội thảo toán học tại New York có một nhà toán học đã làm một bản báo cáo rất xuất sắc và độc đáo: ông bước lên diễn đàn và chẳng nói một lời, lẳng lặng cầm viên phấn viết thật nhanh lên bảng đen các con số sau đây :



.... sau đó ông đi về chỗ ngồi của mình. Lúc đầu cả hội trường im phăng phắc ,một lúc sau tiếng vỗ tay vang dội một hồi lâu không dứt.

Năm 1914 số thứ 10 được chứng minh là số nguyên tố.

Năm 1952 người ta dùng máy tính điện tử chứng minh được số thứ 11 không phải là số nguyên tố.

Tốc độ tính toán của máy tính điện tử càng lúc càng chóng mặt. Ngày 4 tháng 9 năm 1996 máy tính cỡ lớn của Mỹ giúp các nhà khoa học Mỹ tìm ra số nguyên tố thứ 33 là (gồm 378632 chữ số thập phân).

Ngày 28 tháng 5 năm 2004, John Findley đã tìm ra số nguyên tố Merssenne thứ 41. Nó gồm 7235733 chữ số thập phân (một người bình thường phải mất 6 tuần mới viết hết được). Đó là số đồng thời phát hiện số hoàn hảo lớn nhất .
Máy tính tại Khoa Toán ĐH Los Angeles (UCLA) đã tìm ra số nguyên tố Mersenne thứ 45, số nguyên tố Mersenne thứ 46 với hơn 13 triệu chữ số cũng mới tìm ra mới đây bởi máy tính ở Cologne, Germany.

Cả hai phát hiện này là một phần của chương trình GIMPS - Great Internet Mersenne Prime Search. Trước đó số nguyên tố lớn nhất được biết cũng được UCLA tìm ra với 10 triệu chữ số và họ được nhận giải thưởng 50.000 USD từ quỹ EFF - Electronic Frontier Foundation
Edson Smith của nhóm Mathematics Computing Group, UCLA là người cài đặt và điều hành phần mềm tìm kiếm số nguyên tố này.

Giám đốc quỹ GIMPS George Woltman phát biểu rằng sẽ được tặng thưởng 150.000 USD cho ai khám phá ra đầu tiên số nguyên tố có 100 triệu chữ số.

Xem thêm về số nguyên tố Mersene tại đây.

(Theo bản tin Hội Toán học Hoa Kỳ - AMS)