“Giả sử X và Y là hai tập hợp đã cho. Một ánh xạ f từ X đến Y là một quy tắc cho tương ứng mỗi phần tử x thuộc X với một và chỉ một phần tử y thuộc Y... Kí hiệu y = f(x) được gọi là giá trị của f tại x.”
Thay cho cụm từ “ánh xạ từ X tới Y” ta cũng thường nói “hàm f xác định trên X và lấy giá trị trong Y”. Thật ra hai từ “ánh xạ” và “hàm” không hẳn đồng nhất. Song sự khác biệt giữa hai khái niệm này chỉ là ở chỗ:
Một ánh xạ thì xác định khắp nơi trên X như trong định nghĩa, còn một hàm thì không nhất thiết phải xác định khắp nơi trên X. Đương nhiên một hàm bao giờ cũng là một ánh xạ từ tập hợp xác định (miền xác định) của nó tới tập đích. Ví dụ là một hàm từ R tới R và là một ánh xạ từ X = [-1; 1] tới R.
Ta thường gặp trong các sách câu: “cho hàm số f(x)”. Cách nói này không chính xác vì nó làm lẫn lộn giữa giá trị của hàm f tại x (f(x) thuộc Y) với bản thân hàm f. Như vậy, thay cho cụm từ “hàm số cosx”, ta cần phải nói: “hàm số ” hoặc “hàm số cosin”.

Toán học có thể xem là một "không gian vectơ vô hạn chiều" trên "trường" các quy tắc suy luận logic được con người thừa nhận, mà “cơ sở” của nó là "hệ các tiên đề được thừa nhận" . Trong đó các “vectơ” - gọi là mệnh đề của toán học - là các "tổ hợp tuyến tính" của các tiên đề theo "quy tắc cộng và nhân với vô hướng" từ “trường” các quy tắc suy luận.
Để làm cứu cánh cho mình , các nhà toán học rất thông minh đã nghĩ ra những "phép chiếu xạ ảnh" từ "không gian vectơ vô hạn chiều" của mình vào những tập hợp các đối tượng trong thực tế, trong các ngành khoa học khác như vật lí, sinh học , kinh tế ... . Đó chính là cái mà người ta gọi là "ứng dụng của toán học" .
Đối với các nhà toán học thuần túy , phương pháp nghiên cứu của họ là chọn trước một cấu trúc con của không gian vectơ toán học rồi nghiên cứu ảnh của nó qua phép chiếu xạ ảnh . Còn các nhà toán học ứng dụng lại làm ngược lại, họ chọn trước tập đích và cấu trúc con của nó để nghiên cứu nghịch ảnh của phép chiếu xạ ảnh.