Nếu muốn đề cập đến những thiên tài có những cống hiến vĩ đại cho con người thì không thể bỏ qua nhà toán học yểu tử Évariste Galois (1811-1832). Nhưng điều đáng buồn hơn là cuộc đời cuả ông - một tấn bi kịch, một gia tài hiếm có cuả nhân loại - đã hầu như bị vùi dập không thương tiếc bởi sự vô tình cuả những bậc trí giả đương thời và bởi sự vô tâm cuả xã hội phong kiến lúc bấy giờ.
Galois, nhà toán học Pháp người đã phát triển nhũng kỹ thuật mới nghiên cứu về khả năng giải được cuả các phương trình mà ngày nay còn gọi là lý thuyết nhóm (hay đặc biệt hơn "lí thuyết Galois"). Cùng lúc với Abel, ông đã chỉ ra được rằng có những phương trình tổng quát bậc 5 hay cao hơn sẽ không thể giải đuợc bằng căn thức (tức là nghiệm nếu có cuả chúng sẽ không biểu thị được bằng một số hữu hạn các phép toán hữu tỉ)

Đôi nét về cuộc đời Galois

Galois sinh ra trong 1 gia đình gia giáo. Tuy vậy thật bất hạnh cha ông đã tự sát vì một lá thư nặc danh cuả kẻ thù. Bản thân ông thường hay bị trượt trong các kì thi ở trường học trong khi mà ông lại có khả năng đọc và hiểu thấu đáo Hình học cuả Legendre. Ngay cả trong kì thi ở trường Preparatory, thầy giáo vật lí Pélet đã đánh giá miả mai: "Hắn ta tuyệt đối không biết gì hết. Tôi đã được nghe rằng hắn có khả năng toán học; Tôi hoàn toàn ngạc nhiên về điểm này. Khi chấm bài thi cuả anh ta, dường như anh ta có một tí hơi hớm thông minh hay là cái trí khôn này đã được giấu quá kỹ đến nổi tôi không cách chi tìm ra nó!". Ông cũng đã bị loại khỏi trường Bách khoa Kỹ thuật, một đại học nổi tiếng cuả Paris, tới những hai lần (điểm này chỉ có thể so sánh nổi với cụ Tú Xương nhà ta) Lí do bị loại trong lần thi thứ hai (năm 1929) là vì ông đã ném miếng giẻ vào mặt giám khảo M.Dinet (có tài liêu cho là Lefébure de Forcy) do một câu hỏi về logarithm mà ông cho là ngớ ngẩn và ngu ngốc

Thêm vào sự thiếu may mắn đó, nhiều công trình cuả ông chẳng những bị bỏ xó mà còn, trong nhiều trường hợp, chúng hoàn toàn bị cất vào không đúng chỗ bởi những người hữu trách. Khi Galois giao cho Cauchy (1789-1857) tài liệu chưá đựng những kết quả tối quan trọng (mà chính Galois lại không lưu lại bản sao), thì Cauchy lại đánh mất. Một bản luận văn khác cuả ông cũng đã được đệ trình cho giải thưởng lớn về toán học cuả Viện Hàn Lâm, chính Fourier (1768-1830) lấy bản văn đó về nhà nhưng lại qua đời một thời gian ngắn sau đó và tài liệu này cũng bị thất lạc. Dưới cái nhìn cuả Galois, thì việc mất mát này không thể là tình cờ va cho rằng có thể Fourier đã hoặc không hiểu nổi nội dung bản văn hay là đã cố ý đánh mất nó. Ngoài Fourier ra, những người có trách nhiệm đọc qua bản văn trong hội đồng iám khảo giải thưởng còn có Lacroix, Poisson, Lengendre and Poinsot . Còn nữa Poisson (1781-1840) sau khi nhận đưọc bản luận văn (bản thứ 3) thì đã từ chối lấy lí do là không đúng thời hạn nhưng thực sự là vì các hành vi chính trị cuả Galois. Cuối cùng thì Poisson cũng đã đánh giá công việc cuả Galois nhưng với một thái độ bảo thủ: "His arguments are neither sufficiently clear nor developed for us to judge their rigor, ... One should rather wait for the author to publish his work in entirety before forming a definite opinion" (tạm dịch những luận lí cuả anh ta chẳng những không đủ rõ mà còn không được phát triển ra để cho chúng ta đánh giá sự chính xác cuả chúng ...)

Galois, luôn luôn là một người trọng căn (radical), đã tham gia Vệ Binh quốc gia, nhưng hậu quả là bị bỏ tù trong năm 1831 vì tội được "diễn dịch" là gây nguy hại cho nhà vua khi mà ông đã cầm bánh cùng với 1 con dao đem đến cho vua Louis Phillips. Ông được tha sau đó 3 tháng vi còn quá nhỏ tuổi.

Đêm cuối trước khi chết (29 tháng 5 năm 1832), do bị bắn trong 1 cuộc đấu súng, Galois đã để lại lá thư tuyệt mệnh cho Auguste Chevalier, trong đó có nêu lên phát hiện về sự liên hệ giưã lí thuyết nhóm và lời giải cuả các đa thức bằng căn thức. Người ta đã không biết chắc những gì đã xảy ra lúc ông bị bắn gục nhưng có nhiều giả thuyết tin rằng ông vì 1 cô gái và đã thách đấu với một quân nhân hoàng gia người bất đồng chính kiến với ông hoặc giả có thể ông bị giết vì một nhân viên an ninh cua cảnh sát.

Lần thi rớt thứ hai tại Polytechnique

Vài tuần sau khi cha mất, Galois dự thi vô trường Polytechnique lần thứ hai và lại bị rớt trước sự ngạc nhiên vô cùng của vịgiáo sư dạy ông.
Lý do bị đánh trượt là vi ông đã ném miếng giẻ lên đầu một vị giám khảo (có thể là Dinet hay là Lefébure de Forcy) khi được hỏi một câu mà ông cho là ngớ ngẩn và ngu xuẩn về logarithme
Học tại Ecole Préparatoire (trường Ecole Normale Supérieure cũ), năm 19 tuổi, thầy Toán cuả ông đã đánh giá:: "Người học trò này đôi khi diễn tả ý tưởng không sáng sủa, nhưng thông minh và tỏ ra một trí óc tổng hợp lỗi lạc". Giáo sư Văn chương thì ngược lại: "Ðây là sinh viên duy nhất trả chỉ trả lời tôi vừa phải. Anh ta chẳng biết gì hết. Tôi tưởng anh ta có khả năng phi thường về toán. Ðiều này gây cho tôi vô cùng ngạc nhiên, vì sau kỳ thi này, tôi nghĩ rằng anh ta là người sinh viên thật sự kém thông minh"
Những nghiên cứu về phương trình của ông được Auguste Cauchy khảo sát. Hình như chính Cauchy cũng làm việc trên đề tài về"nhóm" nên rất thích và đề nghị Galois tổng quát hóa các công trình này và phải soạn thảo một bản báo cáo đề xuất cho Giải Thưởng Lớn về Toán Học của Viện Hàn Lâm Khoa học. Bản báo cáo đó đã được giao cho Fourier lúc bấy giờ là thư ký Viện Hàn lâm, nhưng sau cái chết của Galois, người ta mất hết dấu vết của những công trình này.
Năm sau ông soạn một bản báo mới về cách giải phương trình bằng căn số và bị cho là khó hiểu. Ông không hề được công nhận bởi nền giáo dục lúc bấy giờ.

Những di tích cuối cùng của Evariste Galois

Ngày 14 tháng 7 năm 1831 kỷ niệm ngày Bastille (cách mạng Pháp), Galois bị bắt một lần nữa tại cầu le Pont-Neuf vì xử dụng đồng phục của đội Pháo Vệ Binh Quốc gia vốn đã bị giải tán vì lý do đó là mối đe dọa cho ngai vàng. Sau ba tháng giam cứu (détention préventive), ông bị kết án sáu tháng tù và bị giam tại nhà tù Sainte-Pélagie vì tội tái phạm. Chính trong tù ông mới làm việc bằng trí óc. Ông viết về tích phân đại số và thuyết đa trị (théorie de l'ambiguïté) mà hiện nay không còn dấu vết
Tháng Ba năm 1832, bệnh thổ tả hoành hành tại Paris. Ngày 16 tháng Ba Galois được chuyển tới một dưõng đường gần Place d'Italie. Ông được thả về ngày 1 tháng 6 và đãyêu Stéphanie-Félice du Motel, con gái của một bác sĩ tại nơi này. Cô ta có vẻ không ưng thuận nên ông tự cắt đứt quan hệ vào ngày 14 tháng Năm. Galois cũngkhông biết rằng Stéphanie đã hứa hôn với Perscheux d'Herbinvil , một thanh niên trong gia đình khá giả. Sau khi biết Stéphanie không chung thủy, Perscheux d'Herbinvil đã gây sự và thách đấu với Galois.
Nhận thấy mình không phải là đối thủ nên đêm trước ngày thi đấu súng, Galois viết cho các bạn để giải thích tình trạng của mình và khẩn cấp tóm lược lại công trình khoa họcđã làm.
Sáng ngày 30 tháng Năm, Galois (khác với đối thủ của ông, là không có nhân chứng) bị Perscheux d'Herbinvil đánh bại. Ông bị thương nặng và bị bỏ rơi. Lâu sau đó mới được một người nông dân (hay em ông?) chở đến nhà thương Cochin, ngày 31 tháng Năm, ông đã chết trong vòng tay của Alfred, em ông, vì bị viêm màng bụng: "Em đừng khóc, anh cần can đảm để chết ở tuổi hai mươi".
Ông được an táng ở nghĩa địa Montparnasse.

Bản chúc thư của Galois
Ðêm 29 tháng Năm, biết rằng mình sắp chết, ông viết một bức thư di chúc gởi cho Auguste Chevalier trong đó nhắn bạn mình phải cho các nhà toán học thời bấy giờ biết những khám phá khác nhau của mình

Paris, ngày 29 tháng Năm 1832,
Bạn thân mến,
Tôi đã làm
được vài phát hiện mới mẻ trong ngành giải tích. Điều đáng chú ý đầu tiên
là lý thuyết cuả các phương trình, và những điều thứ đến là về các hàm số tích
phân. Trong lý thuyết cuả các phương trình, tôi đã nghiên cứu các điều kiện để
các phương trình có thể giải được bằng căn thức; bởi vậy tôi có thêm một dịp để
đào sâu thêm về lý thuyết này (lý thuyết cuả các phương trình -- người dịch) và
để mô tả tất cả phép biến đổi khả dĩ cho một phương trình mặc dù nó không thể
giải được bằng căn thức. Tất cả những điều đó sẽ được tìm thấy trong ba
bản luận văn (kèm theo) ở đây ...
Những suy gẫm chính của tôi gần
đây hướng về sự áp dụng phân tích siêu nghiệm của thuyết đa trị
(những diện tích Riemann, viết thành nhiều tờ, sẽ trong lý thuyết này)...
Nhưng tôi không có thì giờ và ý tưởng của tôi chưa
được khai triền lắm trên lĩnh vực quá rộng này..."

Những đóng góp toán học của Galois mãi đến năm 1843 mới được hiểu và Joseph Liouville khi xem bản thảo của ông đã tuyên bố là Galois đã giải được bài toán do Niels Henrik Abel đưa ra lần đầu tiên. Bản thảo của ông cuối cùng được công bố toàn bộ trong Journal des mathématiques pures et appliquées (Tạp chí toán lý thuyết và ứng dụng) vào khoảng tháng 10-11 năm 1846.

Xem thêm về cuộc đời Galois trong giáo trình của NCT: Download

Đoạn này nằm trong bài viết về thần đồng Toán học Terry Tao (đã đăng mấy hôm trước).

Vào ngày 16-7-1983, một ngày trước sinh nhật lần thứ 8 của Terence Tao, Ken Clements - một chuyên gia về giáo dục những trẻ em có năng khiếu toán học, đã đến thăm nhà cậu bé để đánh giá khả năng của cậu.
Trong quá trình đánh giá, anh đã đưa cho Terry một chuỗi các câu hỏi được viết ra giấy, và Terry trả lời bằng miệng mà không hề viết gì ra giấy. Tất cả các câu trả lời của cậu đều đúng.

Dưới đây là các câu hỏi và câu trả lời của Terry.

Câu 1: Hai đường tròn có bán kính bằng 2cm và 3cm. Khoảng cách giữa các tâm của chúng là 4cm. Vậy chúng có giao nhau hay không?
Terry: Có. Nếu chúng không giao nhau, khoảng cách giữa các tâm của chúng sẽ lớn hơn 5.
Câu 2: Một chiếc kim giờ sẽ tạo ra một góc bằng bao nhiêu trong 20 phút?
Terry : Đơn giản. 1/3 của 1/12 của một vòng tròn kín là bằng 1/36 của một đường tròn. 1/36 của 3.600 tương đương với 100.
Câu 3: Một can dầu nặng 8kg. Khi rót một nửa số dầu ra khỏi can thì can nặng 4,5kg. Hỏi cân nặng của chiếc can rỗng là bao nhiêu?
Terry: Chú có một phương trình đại số, nhưng khó tính nhẩm. Trọng lượng của can + trọng lượng của dầu = 8. Trọng lượng của can + ½ (trọng lượng dầu) = 4 ½ . Vậy, trọng lượng dầu = 7kg, trọng lượng can = 1kg.
Câu 4: Bây giờ là mấy giờ nếu khoảng thời gian kể từ giữa trưa đến bây giờ bằng 1/3 quãng thời gian từ bây giờ đến nửa đêm?
Terry: 1 phần + 3 phần = 12 giờ
Vậy 1 phần = 3 giờ
Vậy bây giờ là 3 giờ chiều.
Câu 5: Chú đi bộ từ nhà tới trường trong 30 phút, còn anh của chú phải mất 40 phút. Anh chú rời khỏi nhà trước chú 5 phút. Vậy trong bao nhiêu phút thì chú sẽ vượt được anh ấy?
Terry: 35 phút. Nếu chú khởi hành cùng thời gian với anh trai thì chú sẽ đến trước chú ấy 10 phút... Ồ không, 15 phút, bởi vì khi đó cả hai đều đã đi được nửa đường rồi.
Câu 6: Chu vi của một tam giác vuông là 5cm. Độ dài mỗi cạnh bên của nó là 2cm. Vậy chiều dài cạnh thứ ba bằng bao nhiêu?
Terry: Cạnh thứ ba là 1cm. À không, điều đó không đúng. Theo định lý Pythagor thì nó phải là... căn bậc 2 của 8 hoặc là... Không thể được, phi lý!
Câu 7: Một lớp học nhận được một số cuốn vở thông thường và một số cuốn vở đặc biệt, tất cả có 80 cuốn vở. Một cuốn vở thường có giá 20 cent và một cuốn vở đặc biệt có giá 10 cent. Hỏi lớp học nhận được bao nhiêu cuốn vở mỗi loại?
Terry: Cháu thực sự không biết (cười)
(R+S = 80. Tất cả những gì chú cho là giá các cuốn vở. Không thể giải được. Có thể là 40 cuốn thường và 40 cuốn đặc biệt. Hoặc cũng có thể là 50 cuốn thường và 30 cuốn đặc biệt).
Bạn có giỏi như Terry?

Ngoài Perelman, còn có 3 nhà toán học khác được trao tặng giải thưởng Fields 2006, gồm có: Andrei Okounkov, Wendelin Werner và thần đồng Toán học Terence Tao.

Terence Tao sinh ngày 17-7-1975 tại Adelaide, South Australia, Úc. Ở tuổi 31 (năm 2006), anh là một trong những người trẻ nhất từ trước tới nay đoạt huy chương Fields - được coi như "giải thưởng Nobel của toán học".

Tháng 1-2007, khoảng 400 người tập trung tại một giảng đường ở Đại học UCLA (California, Mỹ) để nghe buổi nói chuyện về các số nguyên tố - một dịp hiếm hoi mà thính giả chỉ đủ chỗ để đứng. Nhiều người theo dõi qua màn hình video trong lớp học bên cạnh, nhiều người phải ra về. Bài nói chuyện dài 60 phút còn được truyền trực tiếp trên internet, sinh viên xin chữ ký của diễn giả như là đến với ngôi sao nhạc rock.

Các đồng nghiệp thường gọi đùa tiến sĩ Terence Tao là một ngôi sao nhạc rock và là “Mozart của toán học”. Hai bảo tàng ở Australia đề nghị được trưng bày ảnh của anh vĩnh viễn. Và anh là người lọt vào chung kết giải thưởng Người Australia của năm 2007. Tuy nhiên, không có giải thưởng hay sự nổi tiếng nào ảnh hưởng nhiều tới anh.

Trong văn phòng, anh treo một bức poster Ranma - tên một cuốn truyện tranh của Nhật. Anh thường mặc áo ngắn tay Adidas, quần jean xanh và giày đế mềm như các thực tập sinh. Anh nói chẳng biết làm thế nào để tiêu số tiền của học bổng MacArthur Fellowship.

Tố chất thần đồng

Terence Tao đã giải quyết hàng loạt các bài toán lớn, bao gồm những bài liên quan đến các số nguyên tố và giải thuật nén hình. Tháng 8-2006, anh đã đoạt huy chương Fields.

Anh cũng là người thứ 707 vừa nhận học bổng MacArthur Fellowship, một trong những giải thưởng lớn của Mỹ mỗi năm dành cho khoảng 20-40 người có công trình sáng tạo xuất sắc với số tiền thưởng là 500.000 đôla trao dần trong 5 năm.

Sự thành thạo của Terence Tao đối với các con số xuất hiện từ khi anh còn rất nhỏ tuổi. “Tôi luôn thích những con số”, anh nói. Cậu bé Terry Tao 2 tuổi thường dùng các khối đồ chơi để chỉ cho những đứa trẻ lớn hơn cách đếm. Cậu rất nhanh biết nói và thường dùng các khối để đánh vần các từ như “chó” và “mèo”.

Cha mẹ Terry đưa cậu bé vào học một trường tư khi cậu 3 tuổi rưỡi. Sau 6 tuần, họ cho cậu nghỉ học vì cậu không thích bỏ thời gian ngồi trong một lớp học, và các giáo viên thì không thích dạy một cậu bé như vậy.

Lên 5 tuổi, cậu được ghi danh vào một trường công, và cha mẹ cậu, những nhà quản lý hành chính cũng như các giáo viên đã thiết lập một chương trình học riêng cho cậu. Cậu học mỗi môn bằng tốc độ của riêng mình, nhanh chóng vượt qua một vài lớp trong môn toán và khoa học trong khi vẫn học ở nhóm tuổi của mình với những môn học khác.

Chẳng hạn ở giờ học văn, cậu trở nên bối rối khi phải viết bài luận. Được giao viết một câu chuyện về những gì đang diễn ra ở nhà, Terry đi từ phòng này sang phòng khác và ghi tất cả những thứ quan sát thấy vào một danh sách chi tiết. Khi bảy tuổi rưỡi, cậu bắt đầu vào học các lớp toán ở trường trung học.

Kim tự tháp tri thức

Ông Billy Tao biết rõ đường đi của những đứa trẻ thần đồng như Jay Luo, người đã tốt nghiệp với bằng toán học ở Đại học bang Boise năm 1982 ở tuổi 12, nhưng cũng từ đó biến mất khỏi thế giới toán học. “Ban đầu tôi chỉ nghĩ là Terry cũng sẽ giống như một người trong số họ, tốt nghiệp càng sớm càng tốt”. Nhưng sau khi nói chuyện với các chuyên gia về giáo dục dành cho những đứa trẻ thiên tài, người cha này đã thay đổi ý định.

“Để lấy được một tấm bằng ở độ tuổi còn trẻ, hay để trở thành người phá kỷ lục, thì chẳng có nghĩa lý gì. Tôi có một mô hình kim tự tháp tri thức, với một cái nền rộng và sau đó kim tự tháp có thể lên cao hơn. Nếu bạn chỉ nhanh chóng đi lên như một cái cột, thì chắc chắn bạn sẽ dễ bị lung lay ở trên đỉnh và rồi đổ sụp xuống”. Và Billy Tao đã sắp xếp cho các giáo sư toán học làm thầy dạy cho con mình.

Hai năm sau, Terry đã vào học các lớp toán và vật lý trình độ đại học. Cậu đặc biệt xuất sắc trong các kỳ thi toán quốc tế. Cha mẹ cậu quyết định sẽ không cho cậu vào học trong trường cao đẳng toàn thời gian, mà chia thời gian học giữa trường trung học và ĐH Flinders, một trường đại học ở Adelaide. Cuối cùng, cậu chỉ vào học như là một sinh viên cao đẳng toàn thời gian ở Flinders khi đã 14 tuổi. Hai năm sau khi cậu tốt nghiệp thì cha mẹ mới để cho cậu chỉ theo học những khả năng hàn lâm của mình.

Terry hoàn thành bằng đại học của mình trong hai năm, một năm sau thì lấy bằng thạc sĩ, rồi đến 20 tuổi trở thành tiến sĩ. Mặc dù anh nói anh chưa bao giờ cảm thấy lạc lõng trong một lớp học có nhiều sinh viên lớn tuổi hơn mình rất nhiều, ĐH Princeton là nơi mà anh cảm thấy phù hợp trong một nhóm những người cùng đẳng cấp tư duy. Anh vẫn còn trẻ, nhưng không phải lúc nào cũng luôn là sinh viên sáng giá nhất.

Cuộc phiêu lưu với số

"Để lấy được một tấm bằng ở độ tuổi còn trẻ, hay để trở thành người phá kỷ lục, thì chẳng có nghĩa lý gì", nhờ quan điểm sáng suốt của người cha mà Terence Tao đã có một sự nghiệp thành công.

Công trình toán học nổi tiếng nhất của Terence Tao liên quan đến các số nguyên tố - những số nguyên dương lớn hơn 1, chỉ chia hết cho 1 và cho chính nó. Những số nguyên tố đầu tiên là 2, 3, 5, 7, 11, 13. Khi các số này có giá trị lớn hơn, các số nguyên tố trở nên thưa thớt hơn, nhưng nhà toán học Hy Lạp Euclid đã chứng minh vào năm 300 trước Công nguyên rằng, dù sao thì các số lượng các số nguyên tố cũng là vô hạn.

Rất nhiều câu hỏi về các số nguyên tố vẫn tiếp tục chưa tìm được câu trả lời. Euclid cũng tin rằng có vô hạn những “số nguyên tố sinh đôi” (twin primes), nghĩa là những cặp số nguyên tố cách nhau 2 đơn vị, ví dụ như 3 và 5, 11 và 13 - nhưng ông không thể chứng minh được ước đoán của mình. Và cũng chưa từng có ai sau ông 2.300 năm làm được điều đó.

Một câu hỏi chưa được trả lời khác là: liệu có những mẫu dạng ẩn (hidden patterns) tồn tại trong chuỗi số nguyên tố hay không hoặc chúng có xuất hiện một cách ngẫu nhiên hay không. Vào năm 2004, Terence Tao, cùng với Ben Green, một nhà toán học thuộc ĐH Cambridge ở Anh, đã giải một bài toán liên quan đến phỏng ước về số nguyên tố sinh đôi (Twin Prime Conjecture) bằng cách xem xét sự phát triển của chuỗi số nguyên tố - những chuỗi số có khoảng cách bằng nhau (ví dụ, các số 3, 7, 11 tạo thành một dãy số nguyên tố có khoảng cách là 4, số tiếp theo trong dãy là 15 thì không phải là số nguyên tố). Terence Tao và tiến sĩ Green chứng minh rằng luôn luôn có thể tìm thấy, ở đâu đó trong vô số các số nguyên, một dãy số nguyên tố với bất kỳ khoảng cách nào và bất kỳ độ dài nào.

“Terry có một phong cách mà rất ít người có”, tiến sĩ Fefferman nhận xét. “Khi anh ấy giải bài toán, bạn sẽ nghĩ, điều này quá rõ ràng mà sao mình lại không phát hiện ra! Tại sao 100 người xuất sắc đã nghĩ về điều này trước đây lại không nghĩ ra?”.

Bạn có giỏi như Terry?

Vào ngày 16-7-1983, một ngày trước ngày sinh nhật lần thứ 8 của Terence Tao, Ken Clements - một chuyên gia về giáo dục những trẻ em có năng khiếu toán học, đã đến thăm nhà cậu bé để đánh giá khả năng của cậu.

Trong quá trình đánh giá, anh đã đưa cho Terry một chuỗi các câu hỏi được viết ra giấy, và Terry trả lời bằng miệng mà không hề viết gì ra giấy. Tất cả các câu trả lời của cậu đều đúng. Dưới đây là các câu hỏi và câu trả lời của Terry.

Câu 1: Hai đường tròn có bán kính bằng 2cm và 3cm. Khoảng cách giữa các tâm của chúng là 4cm. Vậy chúng có giao nhau hay không?

Terry: Có. Nếu chúng không giao nhau, khoảng cách giữa các tâm của chúng sẽ lớn hơn 5.

Câu 2: Một chiếc kim giờ sẽ tạo ra một góc bằng bao nhiêu trong 20 phút?

Terry : Đơn giản. 1/3 của 1/12 của một vòng tròn kín là bằng 1/36 của một đường tròn. 1/36 của 3.600 tương đương với 100.

Câu 3: Một can dầu nặng 8kg. Khi rót một nửa số dầu ra khỏi can thì can nặng 4,5kg. Hỏi cân nặng của chiếc can rỗng là bao nhiêu?

Terry: Chú có một phương trình đại số, nhưng khó tính nhẩm. Trọng lượng của can + trọng lượng của dầu = 8. Trọng lượng của can + ½ (trọng lượng dầu) = 4 ½ . Vậy, trọng lượng dầu = 7kg, trọng lượng can = 1kg.

Câu 4: Bây giờ là mấy giờ nếu khoảng thời gian kể từ giữa trưa đến bây giờ bằng 1/3 quãng thời gian từ bây giờ đến nửa đêm?

Terry: 1 phần + 3 phần = 12 giờ

Vậy 1 phần = 3 giờ

Vậy bây giờ là 3 giờ chiều.

Câu 5: Chú đi bộ từ nhà tới trường trong 30 phút, còn anh của chú phải mất 40 phút. Anh chú rời khỏi nhà trước chú 5 phút. Vậy trong bao nhiêu phút thì chú sẽ vượt được anh ấy?

Terry: 35 phút. Nếu chú khởi hành cùng thời gian với anh trai thì chú sẽ đến trước chú ấy 10 phút... Ồ không, 15 phút, bởi vì khi đó cả hai đều đã đi được nửa đường rồi.

Câu 6: Chu vi của một tam giác vuông là 5cm. Độ dài mỗi cạnh bên của nó là 2cm. Vậy chiều dài cạnh thứ ba bằng bao nhiêu?

Terry: Cạnh thứ ba là 1cm. À không, điều đó không đúng. Theo định lý Pythagor thì nó phải là... căn bậc 2 của 8 hoặc là... Không thể được, phi lý!

Câu 7: Một lớp học nhận được một số cuốn vở thông thường và một số cuốn vở đặc biệt, tất cả có 80 cuốn vở. Một cuốn vở thường có giá 20 cent và một cuốn vở đặc biệt có giá 10 cent. Hỏi lớp học nhận được bao nhiêu cuốn vở mỗi loại?

Terry: Cháu thực sự không biết (cười)

(R+S = 80. Tất cả những gì chú cho là giá các cuốn vở. Không thể giải được. Có thể là 40 cuốn thường và 40 cuốn đặc biệt. Hoặc cũng có thể là 50 cuốn thường và 30 cuốn đặc biệt).

Tóm tắt tiểu sử của thần đồng Terry Tao: Terence Chi-Shen Tao (Chinese: 陶哲軒) sinh tại Adelaide, Úc trong một gia đình Hoa kiều có bố là bác sĩ nhi và mẹ là giáo viên Toán. Hơn hai tuổi rưỡi, Tao đã dạy Toán và tiếng Anh cho một đứa nhỏ 5 tuổi (sau khi tự học những thứ này trên tivi qua chương trình Sesame Street dành do trẻ sắp đi học). Năm 8 tuổi, Tao đã đạt được 760/800 điểm SAT math. section. Năm 9 tuổi được nhận vào chương trình Nghiên cứu tài năng đặc biệt của Đại học Johns Hopkins (hạng 23 Thế giới năm 2006). Năm 10 tuổi bắt đầu thi Olympic Toán Quốc tế và đạt huy chương đồng, năm sau đó thì huy chương bạc và năm vừa tròn 13 tuổi thì đạt huy chương vàng, là huy chương vàng trẻ nhất trong lịch sử kì thi này.
Năm 17 tuổi Tao đạt được bằng Thạc sĩ tại Úc và giành luôn học bổng Fulbright để học sau đại học tại Mỹ. Năm 20 tuổi, Tao giành nốt bằng Tiến sĩ tại Đại học Princeton và được nhận vào làm việc tại Đại học UCLA . Năm 2000, khi vừa tròn 25 tuổi, Tao trở thành Giáo sư (full professor) của UCLA. Đến năm 2006, khi mới 31 tuổi, Tao đã giành giải Fields (tương đương Nobel cho Toán học), là một trong những người trẻ nhất từng giành được giải thưởng này. Được coi là Mozart của Toán học, Tao được một người từng giành giải Fields khác là C.L.Fefferman viết rằng : "Nếu bạn đang mắc kẹt với một bài toán khó, có một cách giải quyết là hãy làm Tao hứng thú với vấn đề đó!".

Giả thuyết Poincaré và Giả thuyết Hình học hóa của Thurston

Ngày 22 tháng 8 năm 2006 tại Đại hội các nhà Toán học Quốc tế tại Madrid, Tây Ban Nha, giải thưởng Fields đã được trao tặng cho Grigory Perelman vì những công trình của ông nhằm chứng minh Giả thuyết Poincaré và Giả thuyết Hình học hóa của Thurston.

Giả thuyết Poincaré do nhà toán học lỗi lạc người Pháp Henri Poincaré-người khai sinh ra ngành Topology-đề xướng năm 1904, nội dung như sau:

"Nếu một đa tạp ba chiều compắc không có biên là đơn liên, thì nó đồng phôi với mặt cầu ba chiều."

Nôm na một chút, hai không gian tôpô là đồng phôi nếu có một song ánh liên tục từ không gian này vào không gian kia sao cho ánh xạ ngược cũng liên tục, nghĩa là hai không gian giống như nhau về mặt tôpô. Một đa tạp ba chiều không có biên là một không gian tôpô mà mỗi điểm có một lân cận đồng phôi với một lân cận của không gian Euclide ba chiều R^3, nghĩa là về mặt địa phương một đa tạp ba chiều không khác gì R^3. Một không gian tôpô là đơn liên nếu mỗi đường cong đóng liên tục trên đó đều có thể được "thắt" một cách liên tục thành một điểm, nghĩa là nó đồng luân liên tục với một điểm, nói cách khác nhóm cơ bản của không gian chỉ chứa phần tử đơn vị.

Giả thuyết tổng quát hơn cho đa tạp n-chiều được gọi là Giả thuyết Poincaré mở rộng.

Trong trường hợp n=2 người ta đã biết từ lâu và không quá khó để chứng tỏ rằng mặt cầu hai chiều là mặt không biên compắc duy nhất mà là đơn liên. Những mặt xuyến là không đơn liên vì chúng có những "lỗ" và do đó có những đường cong đóng không thể thắt lại được.

Những cố gắng để nghiên cứu Giả thuyết Poincaré mở rộng đã dẫn đến những tiến bộ to lớn trong ngành Tôpô và trong Toán học nói chung.

Năm 1960 nhà toán học lớn người Mỹ Stephen Smale đã chứng minh Giả thuyết Poincaré mở rộng cho mọi n lớn hơn hay bằng 5. Công cụ chủ yếu của ông là Lý thuyết Morse trong Tôpô vi phân. Smale đưọc trao giải Fields năm 1966. (Smale là người tham gia tích cực vào phong trào chống chiến tranh Việt Nam, cách đây vài năm đã sang thăm Việt Nam.)

Mãi đến năm 1982 trường hợp n=4 mới được giải quyết nhờ công của nhà toán học Mỹ Michael Freedman. Công cụ của ông lại hoàn toàn là Tôpô Hình học, nghĩa là nói chung không sử dụng các cấu trúc vi phân hay đại số. Freedman cũng được trao giải thưởng Fields năm 1986.

Đóng góp to lớn vào những công trình nghiên cứu dẫn đến các kết quả này và những tiếng bộ sau đó phải kể đến John Milnor (giải Fields 1966), John Stallings, Papakyriapoulos, Sergey Novikov (giải Fields 1970), Robion Kirby, Simon Donaldson (giải Fields 1986) và nhiều người khác. Những phương pháp khác nhau đã được sử dụng: Tôpô vi phân, Tôpô đại số, Tôpô hình học, và cả những ý tưởng từ vật lí lí thuyết.

Vào khoảng những năm cuối thập kỉ 1970 nhà toán học Mỹ William Thurston có những quan sát theo một hướng mới. Ông nhận thấy là trong trường hợp hai chiều mặt cầu là mặt duy nhất mà trên đó có thể đặt hình học elliptic (tổng ba góc trong một tam giác lớn hẳn hơn 180 độ; hai đường thẳng bất kì đều cắt nhau; độ cong của mặt là hằng số dương), trên mặt xuyến một lỗ có hình học Euclide (tổng ba góc trong một tam giác bằng 180 độ; qua một điểm ở ngoài một đường thẳng chỉ có một đường thằng song song với đường thẳng đã cho; độ cong của mặt luôn luôn bằng không); với tất cả các mặt xuyến còn lại ta có hình học hyperpolic (tổng ba góc trong một tam giác nhỏ hơn 180 độ; qua một điểm ở ngoài một đường thẳng có thể vẽ được vô số đường thằng song song với đường thẳng đã cho; độ cong của mặt là hằng số âm). Thurston tổng quát hoá quan sát này lên không gian ba chiều, một cách nôm na, mỗi đa tạp không biên compắc ba chiều đều có thể được cắt thành từng mảnh mà trên mỗi mảnh có một hình học duy nhất. Đây được gọi là Giả thuyết Hình học hoá; nó chứa Giả thuyết Poincaré như là trường hợp riêng. Thurston được tặng giải Fields năm 1982.

Giả thuyết Hình học hoá của Thurston mở ra một hướng mới để nghiên cứu Giả thuyết Poincaré. Vì độ cong của một đa tạp trơn được định nghĩa thông qua các đạo hàm bậc nhất và bậc hai nhất định (trong phép tính Vi Tích phân độ cong của một đường cong với toạ độ được tham số hóa được cho thông qua các đạo hàm bậc nhất và bậc hai của tọa độ) nên xuất hiện khả năng sử dụng những công cụ của Hình học vi phân, Giải tích và Phương trình đạo hàm riêng. Một chương trình nhằm chứng minh Giả thuyết Hình học hoá đã được đề ra bởi nhà toán học Mỹ Richard Hamilton vào đầu thập kỉ 1980.

Cũng cần nói rằng Giả thuyết Poincaré đã tiêu tốn nhiều nỗ lực không thành của nhiều nhà toán học tên tuổi; và những chứng minh sai (cũng như những "chứng minh" không được chú ý đến) đã từng được đưa ra.

Vào năm 2002 nhà toán học Nga Grigory Perelman bất ngờ công bố trên mạng Internet những bản thảo trong đó tuyên bố rằng những trở ngại kĩ thuật cuối cùng trong chương trình của Hamilton đã được vượt qua. Vì Perelman đã là một nhà toán học có uy tín và hướng tấn công của ông có tính thuyết phục cao nên bản thảo của ông nhận được sự quan tâm lớn. Nhiều nhóm các chuyên gia hàng đầu đã bắt tay vào kiểm tra công trình rất phức tạp của Perelman. Trong một thời gian dài không ai dám đứng ra đoan chắc là công trình của Perelman là đúng tuy rằng không có lỗi nghiêm trọng nào được phát hiện.

Đến hè năm nay 2006 thì ba nhóm độc lập với nhau đã công bố kết quả công việc kiểm tra công phu của mình và sự đồng thuận đã được hình thành trong các chuyên gia là Perelman đã chứng minh Giả thuyết Poincaré. Còn việc Perelman có chứng minh được toàn bộ Giả thuyết Hình học hoá hay chưa có lẽ còn chờ thêm thời gian.

Như vậy sau gần đúng một thế kỉ những công sức to lớn của nhiều thế hệ các nhà toán học nối tiếp nhau đã mang đến thành tựu huy hoàng là cuối cùng Giả thuyết của Poincaré, một trong những bài toán nổi tiếng nhất của Toán học, đã được chứng minh.

Giải thưởng Fields được coi là một trong những giải thưởng quan trọng nhất trong ngành Toán. Cứ bốn năm một lần tại Đại hội các nhà Toán học quốc tế giải này lại được trao cho không quá bốn nhà toán học dưới 40 tuổi được coi là xuất sắc nhất. Người được nhận giải sẽ được nhận một huy chương trên đó có chân dung Archimede và dòng chữ bằng tiếng Latin, tạm dịch là "Hãy vượt qua giới hạn tinh thần và thấu hiểu thế giới".

Grigory Perelman là một người khác thường. Ông sinh năm 1966 và đã từng là một trong ba người đạt điểm tuyệt đối trong kì thi Olympic Toán học quốc tế năm 1982 (một trong hai người còn lại là Lê Tự Quốc Thắng). Ông là một chuyên gia xuất sắc về hình học vi phân và đã được mời báo cáo tại Đại hội các nhà Toán học quốc tế năm 1994. Sau đó ông trở về làm việc tại viện toán Steklov ở Saint Petersburg của Nga và rất ít khi giao tiếp với thế giới bên ngoài. Ngay cả sau khi bất ngờ công bố công trình chấn động của mình ông vẫn từ chối hầu hết những lời mời đến thuyết giảng và hoàn toàn không giao thiệp với báo chí. Có vẻ Perelman cũng không có ý định gởi đăng các bản thảo của mình. Người ta đồn rằng Perelman không màng tiền tài lẫn danh vọng. Trước đây Perelman đã từng từ chối không nhận một giải thưỏng của hội Toán học châu Âu năm 1996, vì vậy người ta e ngại rằng chưa chắc gì ông sẽ chịu nhận giải Fields, và sự e ngại đó đã trở thành sự thật: Theo thông báo mới nhất Perelman đã từ chối giải Fields năm nay.

Giả thuyết Poincaré là một trong bảy "Bài toán Thiên niên kỉ" mà viện Clay, một tổ chức ở Mỹ trao giải. Người đầu tiên giải được một trong những bài toán này sẽ được giải thưởng là một triệu đôla! Sáu bài toán còn lại gồm có: P=NP, một bài toán trong lý thuyết tính toán; giả thuyết Hodge trong hình học đại số; phương trình Navier-Stokes trong phương trình đạo hàm riêng; giả thuyết Riemann trong lý thuyết số; giả thuyết Birch và Swinnerton-Dyer trong hình học đại số và lý thuyết số; và vấn đề lý thuyết Yang-Mill trong vật lí toán.

Grigory Perelman - người giải được bài toán Thiên niên kỷ và khước từ giải thưởng hàng triệu đô

(Video chộp được từ YouTube, người đang trình bày bảng được cho là Perelman)

Grigory Perelman, nhà khoa học Nga khước từ giải "Nobel Toán học", thường tách mình khỏi thế giới bên ngoài và không đoái hoài đến danh tiếng. Ông không đến nhận giải này, và có lẽ sẽ từ chối phần thưởng 1 triệu USD cho việc giải được Câu đố Thiên niên kỷ.

Grigory Perelman, 40 tuổi, giành giải Fields (vốn được coi là danh giá ngang với giải Nobel trong lĩnh vực khác) nhờ công trình nghiên cứu hình học của ông. Công trình này được đánh giá là có khả năng giúp các chuyên gia khám phá ra hình khối của vũ trụ. Tuy nhiên, theo các nhà tổ chức Đại hội Toán học Quốc tế thứ 25 ở Madrid, ông sẽ không đến nhận giải thưởng.

Các cựu đồng nghiệp của ông ở St Petersburg, quê hương nhà toán học, cho biết điều này phù hợp với tính cách một con người luôn khước từ sự nổi tiếng.

“Anh ấy rất lịch thiệp nhưng ít nói”, Natalya Stepanovna, từng làm việc cùng Perelman tại Học viện Toán học Steklov ở St Peterburg, cho biết. Perelman bất ngờ rút khỏi học viện này ngày 1/1 mà không đưa ra một lời giải thích. Những người làm việc tại đây không gặp lại ông kể từ khi đó.

“Có lẽ là anh ấy muốn được tự do nghiên cứu”, Stepanovna suy đoán.

Viện phó Sergei Novikov cho biết Perelman bắt đầu tìm hiểu về Poincare Conjecture, định lý toán học mà ông có vẻ đã tìm ra lời giải và nhờ vậy được trao giải Fields, từ năm 1992.

“Nhưng từ khi Perelman bắt đầu bộc lộ những tính cách lập dị, tôi nghĩ anh ấy sẽ không bao giờ hoàn tất những ý tưởng của mình. Thì ra anh ấy đã hoàn tất việc nghiên cứu”, Novikov cho biết. ‘Tôi đã cố đưa Perelman vào viện hàn lâm khoa học, trao cả học bổng cho anh ấy, nhưng anh ấy cứ một mực từ chối tất cả”.

Trong bức ảnh hiếm hoi do Học viện Toán học Steklov cung cấp, Perelman có đôi mắt xanh, bộ râu dày và đôi lông mày rậm.

Perelman sinh ngày 13/6/1966 ở Leningrad, tên cũ của St Petersburg. Giáo viên dạy toán của ông - Tamara Yefimova - gọi ông là Grisha. Cậu bé học tại trường chuyên toán 239. Theo Yefimova, Grisha là một “học sinh thông minh, học giỏi tất cả các môn, trừ thể thao”.

Năm 16 tuổi, Perelman giành giải cao nhất tại cuộc thi Olympic Toán Quốc tế ở Budadpest năm 1982 với số điểm tuyệt đối.

“Toán học luôn là điều quan trọng nhất với em. Nhưng tôi không thể nói em là một người khép kín hay lập dị. Điều đó không đúng. Grisha có bạn bè và chơi đàn violon”, Yefimova cho biết. “Tôi hiểu tại sao em lại không muốn gặp các nhà báo. Grisha là một người uyên bác, chỉ quan tâm đến sự thật chứ không thích những chuyện bàn tán xung quanh”.

Perelman hoàn tất bằng tiến sĩ toán học, chuyên về lĩnh vực hình học nghiên cứu hình dáng của các vật thể trong không gian. Sau đó ông giảng dạy tại các trường đại học Mỹ, trong đó có Học viện Công nghệ Massachusetts, rồi về Nga vào giữa thập kỷ 1990

Vào năm 1996, Perelman giành giải thưởng tại Đại hội Toán học châu Âu lần thứ hai ở Budapest. Ông từ chối giải này, vì cho rằng ban giám khảo chưa đủ trình độ.

Danh tiếng thật sự đến với Perelman vào năm 2002 và 2003 khi ông công bố trên Internet hai bản nghiên cứu giải định lý Pointcare Conjecture. Câu đố này đã khiến các nhà toán học bó tay kể từ khi Henri Pointcare, người Pháp, đưa ra năm 1904. Trong khoảng 61 trang viết tay của mình, Perelman dường như đã chứng minh được định lý, nhưng ông chưa đưa ra một công trình đầy đủ trên các tạp chí khoa học.

Đây cũng chính là một những Câu đố Thiên niên kỷ mà Học viện Toán học Clay từng hứa giành giải thưởng 1 triệu đôla cho ai giải được nó. Perelman cũng không đoái hoài đến việc nhận số tiền này.

Hiện nay thiên tài toán học được cho là đang sống cùng mẹ ở St Petersburg. Các cú gọi tới số điện thoại Perelman đăng ký trong danh bạ đều không có người đáp. Những người quen thì từ chối cung cấp số liên lạc hay địa chỉ của ông, giải thích rằng ông không muốn nói chuyện với giới báo chí.

Một cựu đồng nghiệp, Yevgeny Damaskinsky, nhận xét Perelman “là một người rất hướng nội” không quan tâm đến tiền mà chỉ nghĩ đến việc nghiên cứu. “Đôi khi anh ấy có vẻ như hơi điên rồ nhưng đó là phẩm chất mà tất cả các nhà toán học tài năng đều có”.