Thịt mỡ, dưa hành, câu đối đỏ
Cây nêu, tràng pháo, bánh chưng xanh

Trong các loại hình nghệ thuật dân gian truyền thống vào ngày xuân, không thể nào bỏ qua câu đối. Thú vui tao nhã này đã có từ rất lâu, nó đi vào văn học và đời sống như một lẽ tự nhiên của đất trời.

Mạc vị xuân tàn hoa lạc tận. Đình tiền tạc dạ nhất chi Mai (Mãn Giác Thiền sư)

Câu đối là gì?

Câu đối thuộc thể loại văn biền ngẫu, gồm hai vế đối nhau nhằm diễn đạt ý tưởng, quan điểm, tình cảm của tác giả trước một sự việc, hiện tượng nào đó trong đời sống xã hội. Nguyên thủy từ đối (對) ở đây có nghĩa là ngang nhau, hợp nhau thành một đôi.

Nguồn gốc câu đối

Câu đối có nguồn gốc từ người Trung Quốc. Người Trung Quốc gọi câu đối là đối liên nhưng tên gọi xưa của nó là đào phù.
Câu đối được xem là "tinh hoa" của văn hóa chữ Hán, người Trung Quốc quan niệm: "nếu thơ văn là tinh hoa của chữ nghĩa thì câu đối là tinh hoa của tinh hoa".

Nguyên tắc của câu đối
Câu đối được xem là chỉnh đối (hay đối cân) phải thỏa mãn hai nguyên tắc sau:
1. Ngữ nghĩa: Các từ sử dụng trong hai vế đối phải tương xứng nhau về các mặt:
- Luật bằng-trắc: Thanh bằng phải đối với thanh trắc và ngược lại
- Từ loại: Thực tự (như trời, đất, cây, tên người, địa danh...) phải được đối với thực tự. Hư tự (là các từ nối, từ đệm như thì, là, mà, nhưng...) phải được đối với hư tự. Danh/động/tính từ phải đối với danh/động/tính từ. Từ láy phải đối với từ láy.
- Xuất xứ: Nhằm tăng tính đa dạng và lắt léo, người ra đối thường sử dụng các điển tích văn học, thành ngữ ca dao, cách ngôn tục ngữ hoặc vấn đề thời sự... để đưa vào vế đối.
Người đối lại cũng phải đưa ra các điển tích, thành ngữ... tương ứng để đối.

2. Ngữ cảnh: Ý của hai câu phải tương xứng, có thể đồng điệu hoặc đối nghịch với nhau.

Hai nguyên tắc này có thể được diễn dịch nôm na bởi từ Đối: Đối xứng (Ngữ nghĩa) và Đối đáp (Ngữ cảnh).

Phân loại câu đối
Câu đối Việt Nam được Dương Quảng Hàm phân loại theo ý nghĩa, gồm các loại sau:

*Câu đối mừng: làm để tặng người khác trong những dịp vui mừng như: mừng thọ, mừng thi đỗ, mừng đám cưới, mừng nhà mới...
Nhất cận thị, nhị cận giang, thử địa khả phong giai tị ốc.
Sống ở làng, sang ở nước, mừng ông nay lại vểnh râu tôm
(Nguyễn Khuyến, viết mừng một chánh tổng trước bị cách chức, sau được phục sự và làm nhà mới)
*Câu đối phúng: làm để viếng người chết.
Nhà chỉn rất nghèo thay, nhờ được bà hay lam hay làm, thắt lưng bó que, xắn váy quai cồng, tất tưởi chân nam chân chiêu, ví tớ đỡ đần trong mọi việc
Bà đi đâu vợi mấy, để cho lão vất vơ vất vưởng, búi tóc củ hành, buông quần lá toạ, gật gù tay đũa tay chén, cùng ai kể lể chuyện trăm năm.
(Nguyễn Khuyến: câu đối khóc vợ)
*Câu đối Tết: làm để dán nhà, cửa, đền, chùa...về dịp Tết Nguyên Đán.
Chiều ba mươi, nợ hỏi tít mù, co cẳng đạp thằng Bần ra cửa.
Sáng mồng một, rượu say tuý luý, giơ tay bồng ông Phúc vào nhà.
(Nguyễn Công Trứ, câu đối làm vào dịp tết lúc còn hàn vi)
*Câu đối thờ: là những câu tán tụng công đức tổ tiên hoặc thần thánh làm để dán hoặc treo những chỗ thờ.
Tuế hữu tứ thời xuân tại thủ.
Nhân ư bách hạnh hiếu vi tiên.
(Dịch nghĩa: Năm có bốn mùa, mở đầu bằng mùa xuân. Người ta có trăm tính nhưng tính hiếu thảo là cần trước hết)
hoặc:
Mở rộng phương Tiên, công tế thế cao bằng Thái lĩnh
Sống nhờ của Phật, ơn cứu người rộng tựa Cẩm Giang
(Câu đối thờ Tuệ Tĩnh ở đền Bia)
hoặc:
Tùng thanh, trúc thanh, chung khánh thanh, thanh thanh tự tại.
Sơn sắc, thủy sắc, yên hà sắc, sắc sắc giai không.
(Câu đối khắc ở chùa Diệu Đức, Huế)
*Câu đối tự thuật: là những câu kể ý chí, sự nghiệp của mình và thường dán ở những chỗ ngồi chơi.
Chị em ơi! ba mươi sáu tuổi rồi, khắp đông, tây, nam, bắc bốn phương trời, đâu cũng lừng danh công tử xác.
Trời đất nhẻ! gắng một phen này nữa, xếp cung, kiếm, cầm thư vào một gánh, làm cho nổi tiếng trượng ềnh
(Nguyễn Công Trứ, câu đối tự thuật)
*Câu đối đề tặng: là những câu đối làm ra để đề vào chỗ nào đó hoặc tặng cho người khác.
Nếu giầu quen thói kình khơi, con cháu nương nhờ vì ấm
Việc nước ra tay chuyên bát, bắc nam đâu đấy lại hàng
(Lê Thánh Tông, câu đối đề ở một hàng bán giầu (trầu) nước)
*Câu đối tức cảnh: là những câu tả ngay cảnh trước mắt.
Giơ tay với thử trời cao thấp
Xoạc cẳng đo xem đất ngắn dài
(Hồ Xuân Hương)
*Câu đối chiết tự (chiết: bẻ gãy, phân tách; tự: chữ): là những câu do sự tách chữ Hán hoặc chữ Nôm ra từng nét hoặc từng phần mà đặt thành câu.
Tự là chữ, cất giằng đầu, chữ tử là con, con ai con nấy?
Vu à chưng, bỏ ngang lưng, chữ đinh à đứa, đứa nào đứa này?
*Câu đối trào phúng: là những câu làm để chế diễu, châm chích một người nào đó.
Cung kiếm ra tay, thiên hạ đổ dồn hai mắt lại.
Rồng mây gặp hội, anh hùng chỉ có một ngươi thôi
(Câu đối tặng một người chột mắt mới đỗ khoa thi võ)
*Câu đối tập cú: là những câu lấy chữ sẵn ở trong sách hoặc ở tục ngữ, ca dao.
Gái có chông như rồng có vây, gái không chồng như cối xay không ngõng.
Con có cha như nhà có nóc, con không cha như nòng nọc đứt đuôi.
*Câu đối thách (đối hay đố): người ta còn nghĩ ra những câu đối oái ăm, cầu kỳ rồi người ta tự đối lấy hoặc thách người khác đối. Lối đối này thường sử dụng nghệ thuật chơi chữ, đồng âm dị nghĩa...
Con cóc leo cây vọng cách, nó rơi xuống cọc, nó cạch đến già
Con công đi qua chùa kênh, nó nghe tiếng cồng nó kềnh cổ lại
(Câu đối có bốn chữ : cóc cách cọc cạch đối với bốn chữ công kênh cồng kềnh)
Công thức đo độ khó của vế đối

+ Gọi N là tổng số từ của vế đối
+ Gọi x là tổng của các quy luật tìm thấy trong vế đối
+ Độ khó (K) là tỷ số giữa tổng các quy luật (x) và tổng số từ (N) của vế đối: K = x/N
Ví dụ 1:
Xét vế đối của nữ sĩ Đoàn Thị Điểm: "Da trắng vỗ bì bạch"
+ Ta có N = 5
+ Tính các quy luật:
Luật 1: Da <=> bì
Luật 2: Trắng <=> bạch
Luật 3: Bì bạch là từ láy (2)
Như vậy, x = 3.
Độ khó của vế đối này là: K = 3/5 = 0.6

Vế đối này của Đoàn Thị Điểm, hiện nay, có khá nhiều người đối như
1. Rừng sâu mưa lâm thâm
2. Quạ vàng đội kim ô
3. Trời xanh màu thiên thanh
nhưng chưa chỉnh. Câu đối đã được đăng ở quyển "Thế giới mới" được coi là tạm ổn nhất: "Tay sơ sờ tí ti" . Tí cũng là tay, tí ti là một chút xíu, cũng là một từ láy âm tay sơ là tay còn trong sạch, nguyên vẹn.

Ví dụ 2: Giai thoại đối đáp giữa hai danh tướng Trần Thường và Ngô Thì Nhậm.

Ai công hầu, ai khanh tướng, vòng trần ai, ai dễ biết ai
Thế Chiến Quốc, thế Xuân Thu, gặp thời thế, thế thời phải thế

Xét vế đối của Đặng Trần Thường: "Ai công hầu, ai khanh tướng, vòng trần ai, ai dễ biết ai"
+ N = 13
+ x1 = 4 (5 từ "ai", nhưng có 2 từ điệp lại trong "Ai công hầu, ai khanh tướng" chỉ được tính 1)
+ x2 = 1 (công hầu <=> khanh tướng)
+ x = 5
+ K = 5/13 = 0.38

Ví dụ 3: Dành cho bạn đọc.
"Thầy giáo tháo giầy, tháo cả ủng, thủng cả áo, lấy giáo án gián áo!"

Có người đối như sau nhưng không chỉnh:

"Nhà trường nhường trà, nhường cả hoa , nhòa cả hương lỉnh lương hưu, lưu hương"

Ví dụ 4: Dành cho bạn đọc
Đi xe đạp đạp xe đi vừa đạp vừa đi là đi xe đạp
Thầy toán học học toán thầy vừa học vừa thầy là thầy toán học
Những vế đối chưa đối được
Có những vế câu đối rất khó đối (đến bây giờ vẫn chưa ai đối được) như:

1. Cha con thầy thuốc về quê, gánh một gánh hồi hương, phụ tử.
Vế này khó đối vì hồi hương (cũng có nghĩa "về quê") và phụ tử (cũng có nghĩa "cha con") đồng thời lại là tên gọi các vị thuốc.
Vào vụ đông trường nam bón phân bắc trồng khoai tây, Sang xuân hạ quyết tâm thu hàng tấn củ.
Vế này cũng khó đối vì đông, tây, nam, bắc (chỉ hướng địa lý) và xuân, hạ, thu, đông (chỉ các mùa trong năm).
2. Không vô trong nội nhớ hoài. (Tự Đức)
Vế đối này thì cực khó rồi (Bạn thử tìm hiểu tại sao).

"Những gì dân Toán làm là: Tự đặt vấn đề, Tự giải quyết vấn đề rồi lại Tự hoan hô" (Nguyễn Trung Hà)

Bài báo sau đây nằm trong loạt phóng sự về những cựu học sinh giỏi Toán thành danh của báo điện tử Vietnamnet. Bài báo có nhan đề: "Người giỏi làm Toán: Rất lãng phí!" đăng ngày 21/02/2006.

Trong quá trình đi tìm nhân vật cho loạt bài này, với mục đích tiếp cận những cựu HSG quốc tế thành danh trong lĩnh vực kinh doanh, tôi nhận được không dưới 10 lời giới thiệu của nhiều doanh nhân thành đạt về Nguyễn Trung Hà.

Cuộc phỏng vấn được thực hiện cuối tháng 11/2005. Thẳng thắn và thực tế, đôi chút cực đoan (?), nhiều ý kiến của anh có thể sẽ gây ra tranh cãi hay dư luận trái chiều.

Toán học không có nhiều ý nghĩa với xã hội

Trước khi là một nhà đầu tư, anh từng là một học sinh giỏi Toán?

Năm 1978, đạt giải ba HSG Toán quốc tế ở Rumani, cùng 40 người đạt điểm cao nhất trong kỳ thi đại học, tôi được gửi lên trường quân sự trên Vĩnh Phúc để ôn luyện tiếng, chuẩn bị cho việc sang Nga.

Năm sau, tôi sang MGU (ĐH Tổng hợp Moskva) học khoa Toán Cơ, ngành Toán lý thuyết, lại chọn Lý thuyết số, môn cổ điển và kém ứng dụng nhất trong các nhánh của Toán học. Nhưng chưa hết đại học thì tôi chán. Tôi tự nhận thấy học Toán xong, rồi cũng không để làm gì.

Vì sao?

Tôi cho rằng, những gì dân Toán làm là: Tự đặt vấn đề, Tự giải quyết vấn đề rồi lại Tự hoan hô. Nói chung là một chuỗi công đoạn “tự sướng” và ít có ích cho người khác. Nói cách khác, giá trị của việc học Toán và làm Toán không cao.

Toán học vẫn được coi là nền tảng của nhiều môn khoa học khác. Những điều anh nói dường như phủ nhận một quan niệm được rất nhiều người thừa nhận?

Kiến thức Toán khá cần thiết trong nhiều lĩnh vực, trong cuộc sống. Nhưng, những thứ thực sự cần thiết cũng chỉ ở tầm vừa vừa thôi, nói nôm na là 1+1=2, chứ không phải những cái hoành tráng, trừu tượng, cao siêu. Mà, Toán học bây giờ đi xa lắm rồi, ở tận chân trời nào rồi.

Đa phần những vấn đề mà các nhà Toán học nghiên cứu, là do họ tự đặt ra, tự thấy rằng nó rất có ích, rồi tự đi tìm lời giải và cũng chỉ có họ, hoặc những người theo đuổi Toán ở tầm của họ mới hiểu được.

Vì không có ai hiểu được ngoài mấy ông Toán biết với nhau, nên cũng là các ông tự hoan hô nhau. Ông này khen ông khác giỏi, khen những vấn đề xyz nào đó là giải quyết được mấu chốt, là có ý nghĩa, ảnh hưởng rất lớn... và dân chúng, xã hội, thực ra là chẳng hiểu tẹo nào về vấn đề đó... tung hô theo.

Anh có nghĩ rằng những điều này sẽ động chạm?

Tất nhiên, bất cứ chuyện gì nhạy cảm cũng có thể động chạm. Nhưng, tôi nói với tư cách không phải người ngoại đạo. Tôi cũng từng học Toán. Rất, rất nhiều bạn bè tôi cũng là dân Toán... Trong giới Toán nói chuyện với nhau cũng rất hiểu điều đó. Chúng tôi còn dùng nhiều từ "trần trụi" hơn nhiều: chẳng hạn thủ dâm tư tưởng (cười to). Vô nghĩa! Ông này Tiến sỹ, anh kia Tiến sỹ... toàn giải quyết vấn đề vô nghĩa.

Anh từng học Toán, tức là cũng đã từng thấy rằng nó có ích. Mất bao lâu để anh đi đến kết luận ngược như bây giờ?

Tất nhiên, ngày xưa, tôi không nghĩ ngay được cái điều mà tôi thấy bây giờ. Thời đầu, cũng như rất nhiều SV Toán khác, tôi rất thích làm Toán. Mỗi lần tự giải quyết được một bài toán, một vấn đề nào đó thì thấy rất sướng. Và, nếu có ai đó xung quanh hoan hô thì càng vui, hay tự mình hoan hô cũng thấy hay, cũng đủ để thoả mãn (cười).

Nhưng, cuộc đời có những thời điểm, những cột mốc có thể làm người ta thay đổi cách suy nghĩ. Thay đổi một cách sâu sắc, về chất.

Năm 1982, tôi bị lao phổi và phải vào nằm trong Viện lao Moskva mất 1 năm. Thời gian này, rảnh rỗi nên tôi có nhiều thì giờ suy ngẫm về cuộc đời. Sau khi ra Viện, tôi trở thành người khác hẳn, trong cách nhìn cuộc sống. Tự dưng, tôi nhận thấy một cách rất rõ ràng sự vô nghĩa của những cái mình đang theo đuổi, cụ thể là việc học Toán, hay việc mình muốn đạt cái nọ, cái kia.

Người giỏi làm Toán là sự lãng phí

Nhưng, có một thực tế là dân Toán đa phần là những người giỏi và họ dễ thành công, kể cả khi chuyển sang các ngành khác. Tức là Toán học có ích, ít nhất về mặt đào tạo?

Có một số khái niệm bị đóng khung trong suy nghĩ. Nói thịt nghĩ ngay là thịt lợn, chứ không phải thịt gà, thịt cừu, thịt bò... Nói giỏi hầu như chúng ta cũng hiểu là giỏi Toán, nếu giỏi Văn, giỏi Lý, Hoá, Nhạc, Hoạ... sẽ cần phải chua thêm mấy cái danh từ phụ.

Cá nhân tôi nghĩ có sự nhầm lẫn ở đây. Nhiều người nghĩ những người học giỏi Toán khi nhảy sang các ngành khác làm cái gì cũng dễ giỏi, dễ thành công, tôi lại cho rằng, những người giỏi Toán, bản thân họ là những người giỏi, tức là họ có nhiều tố chất về trí tuệ để dễ thành công... Mà người giỏi thì học gì, làm gì cũng dễ giỏi kể cả học Toán.

Chẳng qua, người có trí tuệ tốt từ bé thường được hướng, hoặc tự chọn vào những môn mang tính khoa học, nhất là Toán. Thành ra, mật độ những người giỏi "dính dáng" đến Toán là tương đối cao, nên dẫn đến sự đánh đồng khái niệm: dân Toán là dân giỏi. Sự lãng phí ở đây là lẽ ra phải cho những người giỏi đó học ngành khác hữu ích hơn là Toán.

Nhưng rõ ràng, rất nhiều kiến thức của Toán đã và đang được áp dụng trong rất nhiều ngành nghề khác nhau?

Chúng ta nhầm lẫn trong việc định nghĩa thế nào là ứng dụng, dẫn đến hiểu Toán có ứng dụng trong nhiều ngành. Không phải vậy. Toán hoàn toàn không có ứng dụng. Tôi nghĩ kiến thức Toán ở bậc ĐH là bắt đầu không cần thiết. Càng nghiên cứu lên cao, Toán càng ít tính ứng dụng hơn. Lúc đó, nó chỉ phục vụ cho những sự phát triển nội tại của bản thân nó thôi. Tôi cho rằng vô ích. Nếu muốn nước ta đi nhanh hơn thì có lẽ nên bỏ qua ngành học này.

Anh có mạnh miệng quá không?

Đó là sự thực. Để nói là vô ích hay không thì xác định xem ta đứng ở điểm nào đó để nhìn. Nhiều người cứ lý luận, hoặc có thể chính họ tin rằng, Toán hữu ích. Nhưng, nhìn ở góc độ phát triển kinh tế xã hội nước ta hiện tại, cống hiến của Toán thực sự không có gì.

Vậy, anh nói thế nào, khi vẫn luôn có những hình thức tôn vinh đóng góp của các nhà Toán học? Và, cả những nỗ lực và sự đầu tư để Toán phát triển. Phải chăng xã hội nhầm lẫn hết?

Toán là một trò chơi. Tôi ví dụ, thi nhảy cao chẳng hạn, cũng là một trò chơi, một trò thể thao. Bản thân cái việc nhảy cao, chẳng có ý nghĩa gì cả, ngoài 1 điều duy nhất là có tác dụng về tinh thần. Nó có thể thoả mãn khát khao chinh phục một cái gì đấy, hay thúc đẩy cho nhiều người yêu thích và hứng thú luyện tập thể dục.

Toán học cũng vậy. Học tiếp lên, nghiên cứu tiếp lên, có thể ra được những cái khá hơn cái cũ, cũng như nhảy cao, cố gắng 2m10, rồi 2m12 sẽ đạt được mục tiêu là chinh phục kỷ lục nào đó. Ngoài ý nghĩa này thì toàn bộ công đoạn nỗ lực đó là vô nghĩa.

Vô nghĩa? Giải thưởng Clay của Ngô Bảo Châu được nhiều người coi là niềm tự hào là một ví dụ phản bác lại nhận định của anh?

Đúng, nó là sự tự hào. Về khía cạnh này thì rất có ý nghĩa. Những nhà Toán học thành công, cũng như những VĐV thể thao thành công sẽ nuôi dưỡng được niềm tự hào cho những người liên quan, trong gia đình, thậm chí trong cộng đồng của họ. Nhưng, điều ấy có ý nghĩa gì khác, cũng như kỷ lục thế giới có ý nghĩa gì, ngoài cái danh kỷ lục?

Đừng vẽ son, tô hồng quá cho dân Toán. Phát triển xã hội thì đừng đưa những đầu óc tinh tuý nhất vào ngành Toán, để họ trăn trở với những việc tự đặt vấn đề rồi tự giải quyết vấn đề. Lãng phí. Những đầu óc ấy có thể làm được việc khác, hữu ích hơn nhiều lần.

Anh lấy những tiêu chí nào để đánh giá một cái gì đó là hữu ích?

Đơn giản thôi, một cái gì đó hữu ích là khi người ta dùng nhiều. Thực ra, chính xác hơn, dùng nhiều mới là có khả năng hữu ích chứ chưa dám chắc là hữu ích thật sự. Chứ nhiều kiến thức Toán cao siêu, trừ một bộ phận rất nhỏ của xã hội hiểu được, còn đa phần chẳng ai hiểu gì, thế thì nói gì đến dùng hay ứng dụng.

Những nhà Toán học hi sinh vì xã hội để đi lừa đảo đám đông. Họ có đóng góp rất ít ngoài việc việc làm gương để khích lệ thêm nhiều trí tuệ tinh hoa khác đi theo vào con đường đó, mà chính ra, ngay cả điều này không nên nhìn nhận là đóng góp.

Cố gắng không lấy bằng nếu không bắt buộc

Quay lại trường hợp của anh, sau khi ra viện và thay đổi nhận thức về cuộc sống, anh hiện thực hoá suy nghĩ của mình như thế nào?

Sau đó, thực sự tôi chỉ học tiếp sao cho cốt hoàn thành nốt bậc học vì không còn cảm thấy hứng thú nữa. Tôi dành thời gian để học những thứ khác, tự học và học qua các thầy. Định kiếm thêm cái bằng Tâm lý nhưng thậm chí, tôi thấy ngay cả việc này cũng vô nghĩa nốt.

Về sau này, tôi vẫn theo học nhiều thứ khác, nhưng cố gắng không lấy bằng làm gì nếu không bắt buộc.

Năm 1985, tốt nghiệp MGU, tôi xác định ngay tinh thần không học tiếp làm gì, và về nước. May mắn, tôi có việc ngay tại Viện Cơ học, thuộc Viện Khoa học Viện Nam.

Thời đó, cơ chế chưa thoáng và xin việc không dễ, chắc anh có thuận lợi về mặt quan hệ?

Không biết vì lý do gì đấy, tôi được nhận ngay (cười). Có thể nói con đường sự nghiệp của tôi rất thuận lợi.

Anh bắt đầu nghiêng sang việc kinh doanh như thế nào?

Hồi đó, Viện Cơ thuộc dạng khá nhất về mặt năng động ứng dụng, làm kiểu chân trong chân ngoài...

Các bác lãnh đạo Viện lúc đó như bác Đạo (Nguyễn Văn Đạo), bác Điệp (Nguyễn Văn Điệp) đều yêu quý và tạo điều kiện cho nhân viên làm thêm bên ngoài. Chúng tôi lập nhóm ứng dụng cơ học vào điện lạnh, sấy… Hợp đồng ký dưới danh nghĩa của Viện, và Viện được phần trăm. Sau này, khi thấy việc tách ra riêng, có con dấu riêng sẽ thuận lợi hơn về mặt kinh doanh và cũng có lợi hơn, chúng tôi lập công ty.

Năm 1989, tôi lập công ty Zodiac (tên tiếng Việt là Hoàng đạo), trực thuộc Hội Tin học, kinh doanh máy móc, thiết bị tin học. Sau khi có Luật Doanh nghiệp (năm 1991), chuyển thành công ty TNHH. Dần dần, do nhu cầu phát triển mà những mảng kinh doanh sau này như ngân hàng, bất động sản, tin học… là sự tiến lên và mở rộng theo sự phát triển tất yếu.

Tức là, anh đến với kinh doanh do sự đưa đẩy của thời cuộc? Thời đó, với các nhà khoa học như các anh, tính riêng lương có đủ sống không?

Đủ, bằng chứng là tôi vẫn sống đây (cười). Không thể nói do đồng lương không đủ sống mà người ta chuyển sang kinh doanh được. Kinh doanh là việc tự thân.

Có thể, có những sai lầm lại dẫn đến thành công. Mình tưởng rằng mình giỏi và có thể làm được điều gì đó, nên cứ thế làm, và làm được, đâm ra lại càng nghĩ rằng mình giỏi thật. Sau này, khi có nhiều kinh nghiệm hơn rồi, nhìn lại mình biết trong những cái làm ấy có nhiều sai sót.

Tôi ra kinh doanh bắt đầu từ việc nghĩ rằng, mình làm kinh doanh giỏi. Thực sự, bây giờ tôi không ưa kinh doanh, mà lại thích làm Toán hơn.

Có mâu thuẫn với điều anh khẳng định: Toán là lãng phí và vô nghĩa?

Không mâu thuẫn. Làm Toán như một trò chơi thì vẫn thấy nó hay, nó đẹp. Làm Toán như một sự thủ dâm tinh thần thì vẫn tự thấy sướng, thấy hứng thú (cười). Mặc dù đúng là những trò chơi, hay sự "tự sướng" chẳng có ý nghĩa gì đối với xã hội. Còn kinh doanh không thấy vui, vì nó càng ngày càng bẩn.

Cụ thể hơn là cái gì bẩn: môi trường?

Tôi quen với môi trường logic hơn. Môi trường kinh doanh bây giờ có nhiều sự phi logic, đôi khi kết quả đạt được không phụ thuộc bản thân ý tưởng kinh doanh mà còn nhiều điều kiện phụ khác.

Muốn đầu tư vào những lĩnh vực liên quan đến công chúng

Cùng một lúc sở hữu nhiều công ty trong nhiều lĩnh vực, anh làm thế nào để vận hành và quản lý tốt?

Nói chung, ở tất cả mọi công ty, tôi đều không làm gì quá sâu sát. Thực ra thì người ta không thể biết được nhiều thứ, quan trọng là biết tổ chức. Quản lý kinh doanh đòi hỏi các kỹ năng, còn đầu tư đòi hỏi những ý tưởng.

Tôi ít biết (và vì thế không thích) quản lý kinh doanh nhưng tôi có nhiều ý tưởng và có thể nhận biết người chuyên môn giỏi và sâu hơn mình để làm các việc. Phần việc của tôi là đưa ra định hướng, chiến lược: chẳng hạn quyết định hướng đi, xác định mục đích, thời điểm làm, khả năng sinh lời, lên kế hoạch tài chính, huy động tiền vốn, lựa chọn đội ngũ lãnh đạo chủ chốt...

Anh có mặt trong rất nhiều lĩnh vực sôi động trong nền kinh tế thị trường, trong đó anh ưu tiên cho lĩnh vực nào?

Tôi muốn đầu tư vào những lĩnh vực liên quan đến công chúng: điện ảnh, bất động sản, ngân hàng, quảng cáo, báo chí...Sự thành bại trong kinh doanh ở những lĩnh vực này ít bị ảnh hưởng bởi các cơ quan công quyền.

Hiện tại anh coi "mảng" đầu tư lớn nhất của mình là gi?

Hiện tại, tôi đang cho mình nghỉ hưu. Thời gian lúc này dành nhiều cho việc đọc sách.

Anh đọc những sách gì?

Đọc rất tạp (cười) sách lịch sử, tiểu thuyết, triết học phương Đông...

Một chút về cá nhân anh?

Tôi sinh năm 1962, dân chuyên Toán Chu Văn An, lấy vợ được 21 năm, có 2 con gái. Vợ tôi là Tiến sỹ Toán - Lý, dân chuyên Toán ĐH Tổng hợp. Tôi là người lười biếng, thích suy nghĩ hơn là hành động, thích nói phét hơn là làm.

Cảm ơn anh vì cuộc trò chuyện này.

Hoàng Lê (thực hiện)

(Trích: Phụ lục B: Vài phương pháp giải toán - Dương Minh Đức, Phương pháp mới học toán Đại học - Tập I: Tích phân và vi phân. NXB Giáo dục 1999)

A. Cách học toán

Ta phải học toán trước khi giải các bài toán. Sau đây là vài hình tượng so sánh các cách học toán.
+ Khi chúng ta ghi chép thật cẩn thận và học thuộc thật kỹ các định lý hoặc các lời giải của các bài tập, chúng ta đã làm việc tương tự với: bảo quản thật kỹ và đếm đi đếm lại tất cả những gì có trong một bọc, trong đó có tiền lẫn với giấy vụn, của một ông tỉ phú cho chúng ta. Thường thì trong bọc có nhiều giấy vụn hơn tiền.
+ Khi chúng ta ghi chép thật cẩn thận các ý toán và kỹ thuật toán cùng các bước chính của các chứng minh các định lý hoặc các lời giải của các bài tập, chúng ta đã làm việc tương tự với: lựa riêng tiền trong bọc nói trên, bảo quản thật kỹ và đếm đi đếm lại số tiền đó.
+ Khi chúng ta xem xét cách sử dụng các kết quả của các định lý và các bài tập cùng các ý toán và kỹ thuật toán trong phần chứng minh chúng, chúng ta đã làm công việc tương tự với: tìm cách sử dụng hiệu quả số tiền đó.
+ Khi chúng ta xem xét cách tiếp cận và cách tìm ra các chứng minh các định lý hoặc các lời giải của các bài tập, chúng ta đã làm việc tương tự với: học cách làm ra số tiền đó của ông tỉ phú.
Cách học đầu tiên rất tệ hại, ngay cả những thiên tài bị buộc học theo kiểu này cũng trở nên ngu xuẩn. Tuy nhiên còn nhiều kỳ thi trên đại học chủ yếu khảo hạch trí nhớ của sinh viên hơn là trình độ suy luận của họ: việc này vô tình đẩy một số sinh viên vào cách học thứ nhất cùng với các tệ nạn quay cóp trong các phòng thi. Chúng tôi chưa hề thấy có một công việc của sinh viên tốt nghiệp nào mà người ta phải làm toán mà tuyệt đối không được tham khảo các tài liệu. Chúng tôi mong ước ngày nào đó sinh viên chúng ta được tham khảo mọi tài liệu trong phòng thi. Chúng tôi đã áp dụng cách thi này trên hai mươi năm nay (cho cả các sinh viên năm thứ nhất) và thấy thực sự đã thúc đẩy sinh viên học một cách có rèn luyện suy luận hơn. Thực ra, phải suy nghĩ nhiều hơn khi ra đề cho cách thi này, nhưng không phải là công việc quá khó.
Các sinh viên học theo ba cách sau cùng tùy theo các mơ ước của mình. Phần hướng các dẫn bài tập trong sách này hỗ trợ các bạn học có suy luận hơn. Có điều thú vị là: khi các bạn học theo cách thứ hai, có những điều là “tiền” hôm nào thì hôm nay trở thành “giấy vụn” vì chúng trở nên quá quen thuộc với các bạn. Do đó học đúng cách chúng ta sẽ thấy chương trình học ngày càng nhẹ đi nhiều.

B. Các lỗi cơ bản khi giải toán

Sau đây là các lỗi mà chúng ta cần tránh khi giải toán.
+ Mơ ước thấy ngay lời giải khi bắt đầu giải một bài toán.
Nhiều học sinh và sinh viên mất tinh thần khi không thấy phương hướng rõ rệt nào để giải một bài toán. Bản chất của việc việc giải toán là từng bước một tiến gần hơn đến lời giải. Đừng mơ ước vô lý về có một giải pháp toàn cục ngay khi bắt đầu giải một bài toán. Có ngững sinh viên, khi được gọi lên bảng giải toán, cho chúng tôi biết họ chưa giải xong bài toán đó ở nhà. Chúng tôi yêu cầu họ viết ra những gì họ giải được về bài toán đó, sau đó chúng tôi yêu cầu họ đọc lại đề toán và những gì họ đã viết, rồi khuyến khích họ viết thêm một chút nữa. Cứ như vậy, và cả lớp bỗng thấy bài toán đã giải xong sau khi họ viết ra dòng sau cùng, giống như xem một màn ảo thuật.
Thật ra đa số các bài toán trong chương trình học đều có thể giải như vậy mà không cần có một khái niệm toàn cục về lời giải khi bắt đầu giải chúng. Đây là tác phong làm toán cần được rèn luyện để chuẩn bị cho việc đương đầu với các bài toán phức tạp trong nghiên cứu khoa học về sau này.
Vấn đề làm sao viết thêm một chút từ những gì có sẵn sẽ được trình bày trong các mục sau.
+ Lướt qua các bài toán cơ bản và dành nhiều thì giờ cho các bái toán đố.
Nhiều sinh viên coi thường các bài toán cơ bản đơn giản mà không dành thì giờ ôn tập chúng, chỉ cố giải và học thuộc các bài toán khó. Thực ra đa số các bài toán phức tạp là các bài phối hợp nhiều bài toán cơ bản. Cho nên sẽ chúng ta thấy rõ bản chất của các bài toán loại này và dễ dàng giải chúng nếu chúng ta đã thành thạo các bài toán cơ bản và nhìn ra chúng ngay trong đống hỗn độn của các bài toán phối hợp. Mặc khác thực là buồn cười khi muốn giải các bài toán tổng hợp mà chưa nắm vững các bài toán đơn giản.
Có các bài toán chỉ giải được nếu chúng ta biết vài ý toán rất đặc biệt và thường rất ít gặp trong toán học (ngay cả trong nghiên cứu toán học). Chúng tôi gọi chúng là các bài toán đố. Nếu chúng tôi bất thình lình phải giải các bài toán loại này với thời hạn vài giờ thì chúng tôi cũng có thể bị bí! Các bài toán này không giúp nhiều cho chúng ta trong việc phát triển kỹ năng làm toán. Làm một bài toán cơ bản chúng ta có thể học được cách giải cho rất nhiều bài toán khác, còn làm một bài toán đố thì hầu như chúng ta không áp dụng chúng cho bất kỳ bài toán nào khác! Làm các bài toán đố lại rất mất thì giờ. Chúng tôi sưu tập và hướng dẫn một số bài toán đố trong phần bài tập bổ sung cuối các chương sách này để giúp sinh viên giải nhanh chúng và tập trung việc học vào các bài toán cơ bản. Trong các bài thi thông thường tỉ lệ các bài toán đố ít hơn 15%, vì thế bạn nào dành nhiều hơn 15% thời gian học tập cho chúng là vô lý!
+ Sử dụng bộ óc như một tờ giấy nháp rẻ tiền.
Nhiều sinh viên học toán đến đau đầu. Chúng ta sẽ thấy không phải toán làm họ đau đầu mà chính cách làm toán của họ hại họ. Các bạn thử làm nhẩm trong đầu các bài toán sau: và . Nay các bạn thử giải các bài toán đó trên giấy nháp như sau

Các bạn sẽ thấy đầu các bạn sẽ ê ẩm sau vài lần tính nhẩm và nếu dùng giấy nháp để tính toán thì không có gì khó khăn cả. Chính thói quen dùng bộ óc như một tờ giấy nháp rẻ tiền mà nhiều sinh viên cảm thấy cực kỳ mỏi mệt sau khi làm bài thi tới 120 phút trong một buổi thi dài 180 phút.

Việc dùng bộ óc như một tờ giấy nháp rẻ tiền còn xuất hiện trong các thí dụ dưới đây:
Tính đạo hàm của mà không viết và suy ra với và . Thật ra rất nhiều sinh viên đã tính nhẩm các bước tính toán trên trong đầu và chỉ viết ra kết quả. Chúng ta nên viết các công thức ra giấy trước khi dùng nó. Nếu tính toán dựa vào các công thức trong đầu, chúng ta bắt bộ óc hoạt động theo cơ chế “song song”, cùng một lúc phải làm nhiều thứ khác nhau, việc này dẫn đến đau đầu và sai sót.
+ Không ghi đầy đủ các chi tiết chứng minh mặc dù các chi tiết này đều đã hiện rõ trong đầu.
Việc này xảy ra khi sinh viên cố gắng làm bài ngắn gọn hơn, tuy nhiên việc này rất tai hại. Thật ra cách viết này còn có tác hại lớn hơn nữa: nhiều khi các dòng chữ đó, hiện ra trong đầu mà không được ghi ra, lại rất quan trọng trong việc giúp ta tìm ra cách làm tiếp bài toán và hậu quả là chúng ta bị bí một cách oan uổng.
Cách làm toán tốt nhất là: trong đầu nghĩ sao thì ta viết ra như vậy, không lựa chọn hay tìm cách viết ngắn lại. Chúng ta chỉ trình bày lại cho gọn (nếu thật sự cần thiết) bài giải dựa trên một bài giải chi tiết đã được ghi ra giấy.
+ Không để ý đến các yếu tố đơn lẻ trong các sự việc cho sẵn và các sự việc phải chứng minh.
Nếu chúng ta gom các sự việc cho sẵn thành “khối giả thiết” và các sự việc phải chứng minh thành “khối kết luận” và cố tìm các cách cách chứng minh “khối kết luận” từ “khối giả thiết” thì chúng ta khó thấy được cách tìm ra một lời giải. Chúng ta phải để ý từng chi tiết nhỏ của các khối đó và liên hệ giữ các khi tiết nhỏ đó. Trong thí dụ 1 của mục sau, các bạn sẽ thấy với hai chữ B xuất hiện trong sự việc cho sẵn và sự việc phải chứng minh, chúng ta có thể làm một bước trong quá trình giải bài toán. Cho nên khi tìm kiếm lời giải của một bài toán chúng ta chú ý đến từng chi tiếtcó liên quan đến nhau (dù là những chi tiết nhỏ nhặt). Vì thế chúng tôi dùng các cụm từ ”các sự việc cho sẵn” và “các sự việc phải chứng minh “thay thế cho các cụm từ “giả thíết” và “kết luận” trong phần hướng dẫn giải toán trong sách này.

1. Học toán phổ thông

Ngay từ khi vào lớp một, chúng ta đã được tiếp xúc với toán và toán là một trong những môn chính trong trường học. Tuy nhiên, toán mà chúng ta học lúc đó chí là học thuộc lòng các công thức và cách áp dụng các công thức đó theo hướng dẫn của thầy cô. Sau đây là một ví dụ:
Tính , chúng ta được dạy và đến nay vẫn còn thực hiện như sau:

1 2 3
x 4 5
————-
6 1 5
4 9 2
————-
5 5 3 5

Để có được số 615 chúng ta nhân 5 với 3, được 15, ghi 5 và “nhớ” 1; nhân 5 với 2, được 10, cộng với số nhớ thì được 11, ghi 1 và nhớ 1; và cứ thế tiếp tục.
Có khi nào bạn chợt hỏi: tại sao thực hiện phép nhân theo qui tắc trên thì được kết quá đúng? Có thể trước khi đọc bài viết này, bạn cũng đã từng thắc mắc như vậy và đã tìm được câu trả lời, nhưng tôi chắc rằng, ở tuổi tiểu học, chẳng ai trong chúng ta có một câu hỏi như vậy với thầy cô. Những gì chúng ta làm là cứ thuộc lòng qui tắc như vậy. Cách học này (và những biến dạng của nó) sẽ theo đuổi đa số học sinh cho đến cấp ba, và đại học.

Lớn hơn một chút, chúng ta học nhiều thứ toán hơn nhưng cách học vẫn tương tự như tiếu học: vẫn học thuộc lòng công thức, thực hiện theo các bước đã được dạy để giải bài tập. Ví dụ phương pháp “giả sử tạm” để giải các bài toán tương tự như “vừa gà vừa chó có tất cả 36 con, 100 chân, hỏi có bao nhiêu gà, bao nhiêu chó?” Phương pháp chúng ta được dạy là: giả sử tất cả 36 con là chó (hay giả sử mỗi con gà có 4 chân - tức thêm 2 chân vào mỗi con gà), thì số chân tổng cộng phải là 36×4=144, như vậy dôi ra 44 chân. Do đó số gà là 44/2 = 22, số chó là 36 – 22 = 14. Thực ra mà nói, lần đầu tiên khi soạn bài viết này, tôi cũng quên mất là 44/2 = 22 là số gà hay số chó! Vì vậy, tôi phải ghi thêm cái câu trong ngoặc ở trên, để dễ hiểu hơn. Có thể một số thầy cô lúc đó cũng cố giải thích tại sao cách làm trên là đúng nhưng đa số học sinh chẳng quan tâm - nhớ cách giải thì có dễ dàng hơn không!
Sau này, khi học giải phương trình, ví dụ phương trình bậc hai ax^2 + bx + c = 0, chúng ta lại làm như máy: Tính Delta = b^2 – 4ac, sau đó xét dấu Delta rồi dùng công thức nghiệm. Tất nhiên lúc này, các thầy cô chắc là có giải thích tại sao ta có các công thức nghiệm như vậy, nhưng phần lớn học sinh chỉ nhớ các bước ở trên thôi. Và tiếp tục như vậy cho đến lớp 12. Dĩ nhiên, có những bài toán đòi hỏi học sinh phải “suy luận” sâu hơn, nhưng thường thì các bài toán đó là “cho học sinh khá, giỏi”. Xin nói rõ ở đây là tôi không có ý định bình luận gì về cách học toán như trên ở cấp phổ thông.

Thực ra toán mà chúng ta học ở phổ thông không phải chỉ có thuộc lòng và làm theo các bước có sẵn như trên. Đặc biệt là môn hình học. Chúng ta bắt đầu được học hình học vào lớp 7 – nếu tôi nhớ không lầm. Đó là lần đầu tiên chúng ta bắt đầu học suy luận, học cách chứng minh. Và tôi chắc rằng, đa số chúng ta đều đồng ý hình học là một môn học khó. Một nguyên nhân là vì các bài toán hình học rất đa dạng, và không có chuyện “thay đổi số” thì sẽ được một “bài toán mới”. Do đó, thường thì không có một phương pháp chung cho toán hình học – hầu như mỗi bài cần một cách giải khác. Nếu học sinh học thuộc lòng bài giải thì biết bao nhiêu bài giải cần phải thuộc? Vì vậy, một học sinh muốn giỏi hình học thì phải học cách suy luận cho tốt; và theo tôi, đây cũng là cách học cho cả bậc đại học. Trong phần hai của bài viết, tôi sẽ thảo luận cách nhìn của tôi về học toán đại học.

2. Học toán đại học

Nếu bạn đang tìm một cách học toán chỉ để “vượt qua” các môn vi tích phân ở đại học mà thôi thì tôi nghĩ là bạn không cần phải tìm hiểu sâu hơn. “Kinh nghiệm” học toán 12 năm của bạn là đủ rồi – vì đa số các bài toán vi tích phân đó cũng chỉ yêu cầu bạn thuộc lòng công thức và phương pháp giải. Tuy nhiên, nếu bạn muốn hiểu sâu hơn vi tích phân, muốn đạt kết quả cao trong các bài thi, hay muốn tiếp tục học toán nhiều hơn (đặc biệt, nếu bạn là sinh viên khoa toán) thì cách học thuộc lòng công thức hay thuộc lòng các bước giải sẽ không giúp bạn đi xa được.

Nhưng như vậy thì phải học như thế nào? Trước hết, chúng ta phải có cách học “chủ động” hơn, phải nên tìm hiểu “tại sao cách làm như vậy sẽ dẫn đến kết quả đúng” và thứ hai, (tôi dẫn ý thầy Dương Minh Đức) “không nên học thuộc lòng bài giải”, mà phải học “ý toán” và “kỹ thuật toán”. Xin đọc thêm các bài viết trên. Ở đây, tôi muốn chia sẽ một cách nhìn về thế nào là học “ý toán” và học “kỹ thuật toán”, làm sao để có cho mình các “ý toán, kỹ thuật toán”?
Xem ví dụ sau: chứng minh rằng không phải là số hữu tỉ. Cách giải mà đa số chúng ta sẽ nghĩ tới (và cũng là cách mà đa số sách trình bày – và tôi cũng chắc rằng, ít ai trong chúng ta dám khẳng định “đây là cách tôi tự nghĩ ra, tôi chưa hề đọc trong sách nào hết!”) là như sau. Giả sử với a, b là hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau (không có ước số chung lớn hơn 1). Như vậy ta có . Do đó a phải là số chẳn, và ta được Như vậy b lại phải là số chẳn – và ta có điều vô lý, vì lúc này 2 là ước số chung của a và b. Ta thấy các bước giải bài toán này là:

(a) “giả sử là số hữu tỉ”,

(b) viết dưới dạng “a/b với a, b hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau”,

(c) “bình phương” và nhân chéo,

(d) dùng “tính chia hết cho 2” để dẫn đến “điều vô lý”.

Thực ra, ta không cần phải nhớ tất cả các bước trên! Bước (b) là hệ quả của bước (a), vì mọi số hữu tỉ phải có dạng như vậy. Bước (c) lại là một bước tự nhiên sau bước (b), vì khi có căn bậc hai và tỉ số, ta thường bình phương và nhân chéo. Như vậy những “ý toán” cho bài toán trên chỉ là “phản chứng” (bước (a)) và “tính chia hết cho 2” (bước (d)). Đây là những ý ta cần “học”. Chỉ với hai ý trên, chúng ta có thể giải những bài toán tương tự, như không phải là số hữu tỉ.

Thế phải “học” các “ý toán, kỹ thuật toán” như thế nào? Sau đây là một gợi ý.
Trước hết ta phải hiểu bài giải sẵn, nếu đọc một lần không hiểu thì phải đọc lại nhiều lần để hiểu – nhưng không phải là học thuộc lòng. Sau khi đã hiểu rồi thì chép riêng các ý toán và dùng chúng để viết lại bài giải, nếu bị bí thì có thể nhìn bài giải đúng ngay chỗ mình cần mà thôi. Và một bước cực kỳ quan trọng nữa là chúng ta phải giải lại bài toán dùng các ý toán mình học được: có thể 1 tuần sau khi đọc lần đầu tiên, rồi 2 tuần sau đó, …. Khi “ôn tập” như vậy, chúng ta có thể không cần phải giải lại toàn bộ bài toán, chỉ cần sắp xếp các ý chính là đủ rồi.

Chúng ta học các ý toán và kỹ thuật toán từ đâu? Câu trả lời là từ các chứng minh của các định lý trong sách hoặc trong các bài giảng của các thầy cô, hoặc trong các “gợi ý” trong các bài tập. Bài tập trong các sách của thầy Dương Minh Đức thường chứa rất nhiều các gợi ý, tuy nhiên chúng ta cũng nên suy nghĩ lời giải trước khi đọc các gợi ý đó. Để kết thúc bài viết, tôi nêu thêm một số ví dụ kèm với các ý toán.

Ví dụ 1: Chứng minh rằng mọi dãy số thực tăng và bị chận trên đều có giới hạn. Dĩ nhiên muốn chứng minh được điều này, ta phải nắm rõ các định nghĩa: dãy số là gì, thế nào là dãy số tăng, thế nào là bị chặn, thế nào là có giới hạn. Bạn có thể (nếu không tự mình chứng minh được) đọc chứng minh chi tiết trong các sách vi tích phân. Điều tôi muốn đề cập ở đây là ý toán: lấy “chận trên nhỏ nhất” (sup) và chứng minh đó là giới hạn. Đây là ý chính mà tôi (và chắc rằng các đồng nghiệp của tôi) “thuộc lòng” cho bài toán trên. Rộng hơn, khi gặp một bài toán mới mà một đại lượng nào đó có tính chất “tăng” (không hẳn là dãy số tăng nữa), ta có thể nghĩ đến “chận trên nhỏ nhất” (theo một nghĩa nào đó).
Ví dụ 2: chứng minh rằng mọi dãy số thực bị chận đều chứa một dãy con có giới hạn (Bolzano – Weierstrass). Một lần nữa, trước khi giải bài toán này, ta phải nắm rõ các định nghĩa. Ý chính (mà tôi nhớ) để giải bài này là: (a) chứng minh từ dãy số đã cho, có một dãy con đơn điệu (tăng hay giảm), (b) sau đó dùng ví dụ ở trên về dãy đơn điệu bị chận. Thực ra khi viết đến đoạn này, tôi chưa nhớ lại cụ thể là mình phải làm bước (a) như thế nào, nhưng tôi nghĩ là tôi sẽ làm được nếu viết ra giấy rõ ràng.
Đó là những điều tôi muốn nói trong bài viết này. Chúc bạn thành công.

(Tác giả: Lê Long Triều)

Thực tiễn không chỉ là cơ sở của nhận thức, mà còn là hòn đá thử vàng cho các chân lý khoa học. Những cuộc cách mạng trong khoa học thường gắn với yêu cầu về kỹ thuật của thời đại, của thực tiễn sản xuất. Nếu xã hội nảy ra nhu cầu về kỹ thuật, thì nhu cầu đó sẽ “đẩy khoa học tiến lên mạnh hơn cả chục trường đại học” (Ăng-ghen). Quan niệm các con số thống trị thế giới của Pythagore cũng là do đặc điểm kinh tế thời ấy là việc trao đổi hàng hóa chỉ chú trọng đến mặt lượng mà không để ý đến giá trị của hàng hóa; chế độ nô lệ coi con người như vật thể vật lý, đồ vật vật chất nên Toán học cổ của Hy lạp chủ yếu là hình học. Toán học phát triển triển mạnh kể từ sau thời Phục hưng cũng là do quan hệ sản xuất tư bản chủ nghĩa phát triển mạnh, sự phát triển ngành hàng hải, các cuộc đi biển yêu cầu phải nghiên cứu thiên văn mà thiên văn thì phải có Toán học mới phát triển được Sự phát triển của thành thị, nhu cầu xây dựng những công trình lớn (cả nhu cầu về hàng hải và chiến tranh nữa) đã làm cho cơ học phát triển theo và lại kéo theo sự phát triển của Toán học. Việc dùng máy móc trong sản xuất hồi thế kỷ XVII đã ảnh hưởng rất lớn đến sự phát triển của KHTN (C. Mác khi nghiên cứu về kinh tế của CNTN đã viết rằng việc dùng máy móc hồi thế kỷ XVII, đã đem lại cho các nhà Toán học vĩ đại thời bấy giờ những chỗ dựa thực tế và những sự kích thích để sáng lập ra cơ học hiện đại). Chính những yêu cầu của môn thiên văn học và cơ học thế kỷ XVII đã đề ra nhiệm vụ cấp bách tạo ra phép tính vi – tích phân. v.v... Theo C. Mác, “vấn đề tìm hiểu xem tư duy con người có đạt tới chân lý khách quan hay không, hoàn toàn không phải là một vấn đề lý luận, mà là một vấn đề thực tiễn. Chính trong thực tiễn mà con người phải chứng minh chân lý, nghĩa là chứng minh tính hiện thực, sức mạnh, tính bên này của tư duy. Sự bàn cãi về tính hiện thực hay tính không hiện thực của tư duy tác rời thực tiễn là một vấn đề thuần túy kinh viện”
Toán học không tách rời thực tiễn nhưng tính chính xác của các chân lý Toán học có kiểm nghiệm được trong thực tiễn hay không? Mục đích cuối cùng của mọi khoa học đều là nghiên cứu để rồi cải tạo tự nhiên, nếu Toán học không thể kiểm chứng trong tự nhiên, chẳng hóa ra nó chỉ là thú vui của các nhà Toán học hay sao? Chúng ta đều biết đến tính hiển nhiên của nhiều tiên đề, định lý Toán học, nhưng thật ra, nó gây ra nghi ngờ và không đòi hỏi phải chứng minh gì, chỉ là vì chúng luôn luôn được toàn bộ hoạt động thực tế của loài người xác nhận. Định lý hình học phát biểu 3 đường cao trong một tam giác là đồng quy nhưng khi vẽ ra chúng ta lại không thấy thế thì định lý ấy cần phải xem xét lại. Tuy nhiên nhiều khi chúng ta không dễ gì kiểm nghiệm các chân lý Toán học bằng kinh nghiệm. Ngay như tiên đề về hai đường thẳng song song, chúng ta cũng không thể nào kiểm tra được: chúng ta làm sao kiểm tra được khi hai đường thẳng ấy được kéo ra vô hạn, luc đó nó có cắt nhau hay không? Gauss đã từng lấy 3 ngọn núi cách xa nhau để kiểm tra tổng của 3 góc trong tam giác nhưng cũng không thấy gì khác so với khẳng định của Euclide. Rõ ràng chúng ta phải sử dụng những phương pháp gián tiếp để kiểm nghiệm. Đó là giả định cái điều ấy là đúng, bằng phương pháp suy luận logic, chúng ta sẽ đi đến các định lý dễ kiểm nghiệm hơn.
Như vậy con đường khép kín “thực nghiệm – lý thuyết – thực nghiệm” trong Toán học không hề đơn giản, cái tính chất gắn liền với sản xuất thực tiễn không không rõ ràng như trước nữa, vì sự thực là nó còn có nguyên nhân nội tại nữa. Nói cái gì của Toán học cũng là từ thực tiễn là nói liều, và hạ thấp chính bản thân môn toán: tính độc lập tương đối của Toán học không những là tồn tại, mà nó còn rõ ràng hơn các khoa học khác nhiều.
Chúng ta cũng nên nhớ sức mạnh của phương pháp suy diễn thuần túy: nếu xuất phát từ những tiền đề đúng đắn, phương pháp suy luận chính xác thì chúng luôn thu được những kết quả phù hợp với thực tế. Đối tượng của Toán học ngày càng trừu tượng nhưng xét một cách tổng thể thì chúng lại gần với hiện thực và phản ánh hiện thực phong phú, toàn diện (điều này thì Toán học cổ điển không thể có được). “Tư duy, khi tiến từ cái cụ thể đến cái trừu tượng, không xa rời chân lý, mà đến gần chân lý. Những sự trừu tượng về vật chất, về quy luật tự nhiên, sự trừu tượng về giá trị, v.v..., tóm lại, tất cả những sự trừu tượng khoa học (đúng đắn, nghiêm túc, không tùy tiện) phản ảnh giới tự nhiên sâu sắc hơn, chính xác hơn, đầy đủ hơn”. Điểm lưu ý cuối cùng, không nên hiểu thực tiễn như một cái gì chết cứng, nó cũng thay đổi cùng với sự phát triển của nhận thức con người. Đồng thời tiêu chuẩn thực tiễn cũng mang tính tương đối, đó là nó không bao giờ khẳng định hay phủ nhận hoàn toàn bởi bất kỳ quan niệm nào của con người. Chính con người, trên con đường chinh phục và cải tạo thực tiễn, phải làm cho các quan niệm ấy ngày càng “thực tiễn” hơn.

Sự ra đời của phương pháp tiên đề đánh dấu một bước phát triển quan trong trong Toán học. Toán học được “hình thức hóa” bằng các tiên đề. Toán học dường như bị quy về logic học, ngay cả Triết học cũng có nguy cơ bị quy về logic toán. Đó là tham vọng của chủ nghĩa logic (logicism). Người đề xướng chủ nghĩa này là nhà Toán học, logic học tài ba B. Russell. (Russell và Godel là hai nhà logic lớn nhất thế kỷ 20). Theo Russell, toàn bộ Toán học có thể quy về logic không có nội dung vật chất, trong đó những tiên đề Toán học là những nguyên lý logic tiên thiên (có trước kinh nghiệm, không phụ thuộc vào kinh nghiệm).
Thật ra người ta từ lâu người ta đã nghĩ các mệnh đề Toán học vốn trống rỗng, không hề có nội dung vật chất. Nó hoàn toàn là sản phẩm của trí tuệ loài người chứ không biểu hiện gì về chân lý khách quan cả. Platon đã từng coi Toán học xuất phát từ những cái ở thế giới bên kia; Aristote cũng sáng tạo ra logic hình thức theo đúng nghĩa, là việc chúng ta thu được những tri thức mới từ những tiền đề nhất định được suy diễn một cách “hình thức” (theo phương pháp tam đoạn luận) bất kể nội dung của nó thế nào; còn Euclide thì hoàn toàn bằng phương pháp suy diễn trên những tiền đề nhất định mà vẫn xây dựng được một thứ hình học hoàn chỉnh; Lobachevsky khi tạo ra hình học phi Euclide cũng không tìm được một mô hình phù hợp với nó, người ta chỉ thấy nó trái hẳn với kinh nghiệm thông thường nhưng lại không tìm được mâu thuẫn nào trong cách xây dựng của ông. Như vậy có phải là trong Toán học cái gì không mẫu thuẫn thì sẽ tồn tại (như H. Poincaré, D. Hilbert quan niệm)?
Chúng ta đều biết phương pháp tiên đề dựa trên một tính chất rất quan trọng là tính không mâu thuẫn (cùng với tính đầy đủ, tính độc lập). Hilbert đã tìm cách chứng minh rằng, xuất phát từ những tiền đề nhất định chúng ta sẽ không đi đến những kết luận ngược đời nhau. Nếu chứng minh được điều này, thì việc Toán học có thể quy về logic học như Russell (và những người theo logicism) nói là điều không cãi vào đâu được. Và nếu điều này là đúng thì hóa ra Toán học chỉ là trò chơi chữ thuộc vào loại “xịn” mà thôi, và con cháu chúng ta sẽ có nguy cơ phải học nhiều thứ Toán học khác nhau (vì lúc ấy ta xây dựng Toán học thế nào mà chẳng được, chỉ cần thay đổi tiền đề của nó đi là xong). Đó sẽ là một cuộc cách mạng lớn nhất trong Toán học. Nhưng thật may là lịch sử Toán học có từ hàng năm vẫn được giữ nguyên. Russel muốn xây dựng lại Toán học trên các khái niệm của logic học thuần túy nhưng lại vấp phải khó khăn do chính những nghịch lý của ông về lý thuyết tập hợp, tạo ra. Hilbert thì bị siêu định lý của Godel làm cho công cốc. Định lý không hoàn hảo (incompleteness theorem – còn gọi là Định lý bất toàn) của Godel bảo rằng bất kỳ hệ logic nào cũng không thể nào tự chứng minh được là nó có mâu thuẫn hay không, nghĩa là mọi hệ logic đều “không hoàn hảo”. Chẳng hạn, muốn chứng minh tính không mẫu thuẫn của hình học phi Euclide, ta phải dựa vào hình học Euclide, rồi tính mâu thuẫn của hình học Euclide lại quy về tính không mâu thuẫn của số học, ... Chứng minh của Godel đã làm phá sản luôn chủ nghĩa hình thức của Hilbert lẫn chủ nghĩa logic của Russell, quan trọng hơn nó khẳng định rằng Toán học chỉ có thể dựa vào hiện thực mới “sống” được, bất cứ ai cũng không thể tạo ra một thứ Toán học mới một cách tùy tiện cho riêng mình. Và, giả sử một ngày nào đó, bỗng dưng loài người phát hiện ra một hành tinh khác y chang như Trái Đất thân yêu này, thì chắc chắn, chúng ta hoàn toàn có thể hiểu được Toán học của họ trong lúc đi bằng hai chân chứ không cần phải lộn người lên.

Toán học chắc chắn là một trong các khoa học xuất hiện sớm nhất (nếu không muốn nói là khoa học đầu tiên). Nó xuất hiện không phải do thời xưa có mấy ông rỗi hơi, không có việc gì làm nên mới ngồi bịa ra các con số, các phép tính để giết thời gian. Toán học nảy sinh do yêu cầu của đời sống kinh tế. Ngay từ buổi đầu tiên, loài người đã có những kiến thức Toán học do ảnh hưởng của ngay cả những hoạt động sản xuất sơ khai nhất. Chẳng hạn, để xác định số lượng động vật trong một bầy, số lượng hoa màu thu hoạch được trong một mùa,..., mà nảy sinh ra phép đếm và do đó làm xuất hiện khái niệm số. Chúng ta có thể thấy điều này qua danh từ “calculus” (tính toán) nghĩa là “đếm bằng đá”, vì ngày xưa người ta thường đếm các đối tượng bằng ngón tay, bằng que, bằng đá,... Phân số xuất hiện do yêu cầu đo lường các đại lượng. Nhu cầu về đo, tính toán diện tích các khu đất, đo các vật thể hình khối, nhà cửa ... cũng làm nảy sinh các phép tính hình học. Ngay cả đến các thời kỳ sau này, chúng ta cũng kể được vô số ví dụ chứng tỏ Toán học đã phát sinh và phát triển từ hoạt động sản xuất của con người. Ăng-ghen đã viết rằng: “Trước khi đi đến quan niệm rút ra hình trụ từ việc quay tròn một hình chữ nhật xung quanh một cạnh của nó, thì người ta đã phải nghiên cứu một số hình chữ nhật và hình trụ hiện thực, dù là những hình thức rất không hoàn thiện. Cũng như tất cả các khoa học khác, Toán học sinh ra từ những nhu cầu thực tiễn của con người: từ việc đo diện tích các khoảng đất và việc đo dung tích của những bình chứa, từ việc tính toán thời gian và từ cơ học”.
Platon đã từng đặt phương pháp Toán học ở giữa trí tuệ thuần túy và biểu tượng cảm tính, trí tuệ phải cao hơn vì nó không cần dựa vào các đồ vật cảm tính, đồng thời đối tượng của Toán học cũng trừu tượng hơn những hình ảnh cảm tính. Toán học được xây dựng từ những điều mà ta giả định trước (tiên đề) và phương pháp của nó là suy luận từ những tiền đề ấy. Nhưng câu hỏi đặt ra: các tiên đề ấy từ đâu mà có? Platon trả lời: lấy từ thế giới ý niệm (hiểu nôm na là thế giới mà quá khứ của chúng ta đã sống). Để minh chứng điều này, Platon đã lấy một ví dụ như sau: Nhà triết học Socrates (là thầy của Platon) yêu cầu một đứa trẻ chưa học toán bao giờ giải một bài toán nhân đôi một hình vuông. Bằng phương pháp của mình (phương pháp hướng vào câu hỏi của Socrates), Socrates đã làm cho đứa bé trả lời đúng. Theo Platon, Socrates chỉ gợi cho đứa bé hồi tưởng lại dần những cái mà cậu đã bị lãng quên từ thế giới ý niệm mà thôi.
Chúng ta sẽ không tranh luận về cái thế giới ý niệm của Platon, vấn đề chúng ta đặt ra là: phải chăng Toán học là những tri thức tiên thiên (tiên nghiệm)? Cứ cho là Toán học thoạt tiên xuất phát từ thế giới hiện thực đi, nhưng những tư tưởng Toán học có phải là những biểu hiện của chân lý khách quan hay là chỉ là những sự suy diễn tùy tiện của trí tuệ con người? Sự phát triển mạnh mẽ của Toán học (nhất là sự ra đời của phương pháp tiên đề và môn logic toán) khiến cho nhiều người hoài nghi về đối tượng của Toán học và những quan hệ mà nó phản ảnh. Hàng chục thế kỷ người ta không thể nào chứng minh được cái điều mà Euclide coi là hiển nhiên (các tiên đề). Cái đó kể cũng vô lý, tại sao những cái nhìn cái thấy ngay là đúng lại không chứng minh được? Và rồi Lobachevsky “tự ý” thay đổi một tiên đề của Euclide để xây dựng 1 hình học mới cũng không gặp vấn đề gì, Riemann cũng làm như Lobachevsky nhưng theo 1 cách khác, cũng cho ra một thứ hình học mới khác. Hilbert bảo nếu ta coi cái bàn, cái ghế là “điểm”, là “đường thẳng” cũng chẳng sao. Poincaré nói cái gì không mâu thuẫn thì sẽ tồn tại (chứ không phải ngược lại). Chính sự thâm nhập mạnh mẽ của phương pháp Toán học vào vật lý học ở cuối thế kỷ 19 - đầu thế kỷ 20 đã làm Vật lý bị khủng hoảng trầm trọng: Toán học đã làm cho vật chất mất đi, chỉ có phương trình là ở lại... Như vậy Toán học nghiên cứu những quan hệ trong thực tại hay là chỉ là phép biến đổi hình thức, tùy tiện trên những ký hiệu của logic hình thức? Chúng ta thử xem mọi người trả lời câu hỏi đó như thế nào.
Chủ nghĩa kinh nghiệm (empiricism) trả lời Toán học tuy suy luận trên các ký hiệu nhưng các khẳng định của Toán học không phải về các ký hiệu, mà về các đồ vật mà ký hiệu đó biểu diễn. Mỗi ký hiệu đại số biểu diễn những số tùy ý, và “mỗi định lý hình học là một quy luật của tự nhiên bên ngoài và có thể xác lập bằng con đường tổng quát hóa các quan sát và kinh nghiệm” . Chúng ta rất dễ dàng bác bỏ những quan niệm này. Người ta thường nói sự trừu tượng trong Toán học rất cao, có những tri thức Toán học ta không dễ gì kiểm nghiệm bằng quan sát hay kinh nghiệm (thậm chí là không thể). Hơn nữa những cái thuộc về kinh nghiệm cũng chưa chắc là những tri thức Toán học. Chẳng hạn, chúng ta kẻ 3 đường cao trong tam giác và thấy hình như nó đồng quy. Chúng ta có vẽ hàng trăm tam giác khác nhau thì cũng không thể coi sự đồng quy ấy là một định lý, chừng nào nó chưa được chứng minh chặt chẽ, nghĩa là phải chỉ ra rằng nó thật sự là đồng quy chứ không phải kinh nghiệm của chúng ta mách bảo. Những gì chúng ta cảm giác rằng nó đúng thì chỉ là giả thuyết (hypothesis), mọi kết luận suy ra từ kinh nghiệm đều là phép quy nạp không hoàn toàn. Máy tính điện tử có chạy đúng hàng tỷ số tự nhiên thì cũng không khẳng định được Định lý lớn Fermat (Fermat’s Last Theorem) là đúng. Như vậy chủ nghĩa kinh nghiệm đã vấp ngay phải vấn đề tự nó không thể giải quyết được. Đó là sự không đồng nhất giữa một mệnh đề (định lý) Toán học với kinh nghiệm cảm tính. Thứ nhất, kinh nghiệm cảm tính luôn phản ánh cái riêng lẻ, cái ngẫu nhiên, còn định lý Toán học là sự phản ánh cái chung, cái tất yếu (chú ý nhận thức cảm tính không bao giờ đạt đến cái chung, cái bản chất); thứ hai, sự đúc rút kinh nghiệm luôn là phép quy nạp không hoàn toàn trong khi Toán học cần phép quy nạp đầy đủ.

...(còn tiếp)...

5. Nhìn những sự kiện, vấn đề quen thuộc dưới góc độ khác.

Nhiều khái niệm, định nghĩa cho đối tượng tóan học hoặc các tính chất thật ra liên hệ đến quá trình thực hiện theo thứ tự 2 công đoạn khác nhau. Nếu hai công đoạn này có thể hoán vị được thì ta có khái niệm mới hoặc tính chất mới. Sau đây là một số ví dụ như vậy.
- Tính liên tục của hàm số, ánh xạ: Có thể diễn tả một cách đơn giản bằng công thức
lim f(x_n) = f(lim x_­n) khi x­­_n tiến về x0, đó là hai quá trình tính giá trị của hàm và lấy giới hạn có thể hoán vị cho nhau.
- Các định lý qua giới hạn dưới dấu tích phân hay đạo hàm của dãy hàm chẳng qua là sự hoán vị giữa phép toán lấy giới hạn với phép lấy tích phân (đạo hàm)
- Cho X, Y là các nhóm cộng, f: X -> Y là một ánh xạ. Ta nói f là một đồng cấu nhóm nếu với mọi a, b trong X, f(a+b) = f(a)+f(b). Vế trái thể hiện việc làm phép cộng xong mới tác động ánh xạ f vào, vế phải thì tác động ánh xạ f vào trước xong mới cộng lại. Hai quá trình ngược nhau nhưng vẫn như nhau, xác định bởi dấu =, cho khái niệm đồng cấu nhóm.
Có thể minh họa chuyện này bằng việc gọi cỗ đại pháo A là cơ động được nếu nó được lắp ráp hoàn chỉnh tại nhà máy rồi chuyển đến chiến trường hoặc có thể chuyển từng bộ phận rời đến chiến trường mới lắp ráp hoàn chỉnh sau. Cỗ đại pháo cơ động được sẽ rất tốt vì đáp ứng khả năng chiến đấu ở mọi địa hình.

6. Sự tồn tại, tính vô hạn trong toán học và trong cuộc sống.

- Tồn tại hay không tồn tại: Trong toán học hiện đại, có những đối tượng toán học tồn tại nhưng ta không thể xây dựng, kiến thiết cụ thể được. Phần lớn các chứng minh về sự tồn tại này là nhờ vào tiên đề chọn hay mệnh đề tương đương là Bổ đề Zorn. Các định lý như "Mọi không gian vectơ không tầm thường đều tồn tại một cơ sở", "Một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên một không gian vectơ con đều tồn tại mở rộng, bảo toàn chuẩn trên không gian mẹ,…" đều phải sử dụng đến Bổ đề Zorn để chứng minh. Đầu thế kỷ XX nhiều nhà toán học chỉ chấp nhận những toán thể thực sự tồn tại nếu có thể kiến thiết được quá trình xây dựng hay tiếp cận chúng. Ngày nay hầu như mọi người làm toán đều thừa nhận tiên đề chọn và các hệ quả của nó.
Minh họa điều này trong thực tế, rằng có những cái biết ta biết nó tồn tại thực sự nhưng không thể chỉ ra được. Mệnh đề: Ở thành phố Hồ Chí Minh, tại mọi thời điểm (ví dụ 1 giây), luôn luôn tồn tại 2 người có số tóc trên đầu bằng nhau là một ví dụ.
Sử dụng nguyên lý Dirichlet, rằng có 4 chú thỏ nhốt trong 3 chuồng thì thế nào cũng có một chuồng có nhiều hơn một chú thỏ, để chứng minh mệnh đề trên thì không có gì khó khăn. Thật vậy, những thông tin có được là: điều tra dân số cho thấy thành phố có hơn bốn triệu dân. Tóc của mỗi người theo thống kê cho thấy là không quá không quá 3 triệu sợi.
Bây giờ ta lấy ra 3 triệu người. Nếu tồn tại 2 người nào đó có số tóc bằng nhau thì bài tóan giải xong. Nếu không có ai có số tóc trùng nhau thì giả sử người thứ nhất có 1 sợi tóc, người thứ 2 có 2 sợi tóc, v.v... cho đến người thứ 3 triệu có ba triệu sợi tóc. Tiếp theo ta mời người thứ 3.000.001 đến. Số tóc người này nằm trong khoảng từ 1 đến 3.000.000 nên chắc chắn sẽ trùng với số tóc của một người trong số 3 triệu người kể trên.
Lý luận thì như vậy, nhưng chắc là không tìm ra phương pháp để chỉ ra 2 người cụ thể nào.
- Hữu hạn hay vô hạn: Để chấm dứt bài này, người viết kể lại câu chuyện khách sạn Hilbert và xin được bịa ra một biến thể của nó. Câu chuyện như sau:
Một hôm có nhà doanh nghiệp tên Thông nằm mơ, được nhà toán học nổi tiếng người Đức tên là Hilbert mách bảo bí quyết kinh doanh bằng cách xây khách sạn để kiếm lời. Trong giấc mơ, nhà kinh doanh Thông nghe được bí kíp ấy thấy hay quá nên đã thuê người xây một khách sạn gồm các phòng đơn, được đánh số bởi 1,2,3,...., n,... Sau đó ông Thông, chủ khách sạn mạnh dạn tuyên bố rằng luôn luôn thoả mãn nhu cầu cho những ai cần chỗ ở.
Ngày nọ có một vị khách đường xa đến quầy tiếp tân để thuê phòng. Cô lễ tân nhìn vào sổ theo dõi thấy tất cả các phòng đều có người ở nên quay ra vị khách:
- Xin lỗi, ông cảm phiền đi nơi khác, khách sạn nay đã hết chỗ rồi.
- Các người làm ăn thế nào vậy? Ngoài bảng quảng cáo thì ghi rằng luôn đáp ứng đầy đủ chỗ ở cho ai có nhu cầu, giờ thì từ chối... Vị khách hét tướng lên.
Nghe tiếng ồn ào, vị chủ khách sạn chạy ra. Sau khi biết được câu chuyện, ông Thông quay qua nói với khách:
- Xin lỗi ông, do nhân viên chưa quen việc, sẽ có phòng ngay cho ông thôi mà.
Nói xong, ông thông liền ra lệnh cho nhân viên lễ tân tức tốc đến các phòng, làm các động tác như sau: yêu cầu vị khách đang ở phòng số 1 chuyển ngay sang phòng số 2, khách phòng số 2 thì chuyển sang phòng thứ ba,... nói chung khách đang ở phòng số thứ n thì chuyển sang phòng số thứ n+1,... Sau mấy phút sắp đặt, ông Thông ân cần mời vị khách mới đến vào phòng số 1 và thế là mọi chuyện tạm ổn.
Tất nhiên dù bị đánh động và phải chuyển đồ đạc nhưng rồi mọi người ai cũng có chỗ ở. Vì do số phòng nhiều vô hạn nên người đang ở phòng số n thì chỉ việc chuyển sang phòng mới số n+1. Ông Thông đang đắc chí thì bỗng nhiên bị kiến cắn phải thức dậy.
Hoá ra ông Thông đang nằm mơ, vì chuyện xây dựng khách sạn vô hạn phòng chỉ là lý thuyết, không tưởng, thực tế làm chi có. Tuy nhiên, ông Thông do già dặn trong cuộc đời, thấy mọi chuyện đều tương đối, ngay cả cuộc sống con người là hữu hạn. Thời trẻ, ông đã từng thề thốt với nhiều cô gái rằng, "Anh yêu em vô hạn", "Anh nhớ em vô cùng,..." nhưng thật ra ông chỉ "thương yêu" các cô gái ấy trong một giai đoạn hữu hạn nào đó. Từ đấy, ông suy nghĩ và ngộ ra rằng vô hạn trong cuộc đời thật ra là hữu hạn nhưng ở một mức độ "đủ lớn" nào đó là được. Với suy nghĩ như vậy, ông khai thác ý niệm vô hạn và xây một khách sạn "vô hạn" phòng như sau:
Ông thuê người xây 1 khách sạn có 6.000 phòng (khách sạn với số phòng chừng này thì không phải hiếm, đặc biệt các khách sạn phục vụ cho World Cup). Xong rồi ông quảng cáo rùm beng. Cũng như trên, khi khách đã đầy nhóc mà vẫn còn có người đến, ông giao cho tay quản lý khách sạn làm như trong mơ nghĩa là lôi ông khách phòng số 1 chuyển sang phòng số 2,.... Do tác phong lề mề, mỗi lần chuyển người từ phòng này sang phòng kia mất 10 phút, tính ra đến phòng cuối cùng là mất hết thảy 60.000 phút tức là 1000 giờ = hơn 41 ngày. Trong vòng 41 ngày ấy thông thường thế nào cũng có khách hết tiền nên phải trả phòng lại. Nếu không hên lắm thì mãi đến phòng cuối, nhét người khách phòng số 6000 vào phòng đã trả ấy. (Đó là một mánh chiến lược kinh doanh mạo hiểm! Tuy giữ được lời hứa là thoả mãn chỗ ở cho mọi người nhưng vị khách nào đã ở một lần thì tởn đến già, lần sau chắc là không dám ghé lại vì sẽ bị chuyển chỗ không biết lúc nào.)
Câu chuyện trên cho thấy đặc trưng của tập hợp vô hạn: Nếu thêm một tập hợp hữu hạn hay đếm được vào một tập hợp vô hạn A thì lực lượng của A không thay đổi. Ngoài ra ta thấy rằng, trong thực tế không có cái gì là vô hạn cả theo ý nghĩa toán học. Chỉ cần số hữu hạn "đủ lớn" nào đó là có thể xem là vô hạn rồi. Vấn đề là xác định "đủ lớn" đó như thế nào.
(Tác giả: PGS. TS. Nguyễn Hoàng - Đại học Huế)

3. Minh hoạ khái niệm toán học nhờ những sự kiện tương tự trong thực tiễn.
- Khái niệm không gian (mêtric, tôpô) khả ly: là một trong những khái niệm quan trọng của giải tích. Một không gian khả ly nếu trong nó tồn tại một tập hữu hạn hay đếm được, trù mật khắp nơi. Tại sao người ta coi trọng những không gian khả ly? Một trong những lý do là vì chúng dễ xử lý và kiểm soát. Chỉ cần thu thập, kiểm soát những thông tin trên một tập khá nhỏ (tập hữu hạn hoặc đếm được các phần tử), trù mật trong không gian đã cho thì sẽ kiểm soát thu thập được thông tin trên toàn thể không gian. Có thể thấy ngay một ví dụ về một tập hợp trù mật ấy, chẳng hạn trong mỗi quốc gia, để nắm tình hình an ninh, Bộ Công an bố trí lực lượng công an khu vực như là một tập hợp trù mật trong một quốc gia vậy. Rõ ràng tình hình trật tự, trị an trong toàn quốc được phản ảnh bởi lực lượng công an khu vực này. Trong toán học, yêu cầu tập trù mật là "không quá đếm được", ngoài ý nghĩa tiết kiệm, còn có ý nghĩa hết sức quan trọng vì có thể lý luận, chứng minh hay xây dựng các đối tượng toán học liên quan bằng phép quy nạp hữu hạn được.
- Xa và gần: Phép toán lấy giới hạn là đặc trưng của ngành giải tích. Nói đến khái niệm giới hạn tức là phải biết cách diễn tả khái niệm “gần, xa” và đo đạc được độ “gần, xa” ấy. Cách tự nhiên là dùng khái niệm khoảng cách, mô phỏng khoảng cách thông thường, bằng cách giữ lại một số tính chất tiêu biểu để có thể nói chuyện xa chuyện gần giữa các đối tượng khá tổng quát. Tuy nhiên, có thể diễn tả sự gần hay xa nhau cách khác, chẳng hạn ta hãy khoanh vùng các đối tượng ấy bởi những “lân cận”. Ðiều này trong cuộc sống cũng thường gặp. Ví dụ, thầy X hỏi: “ Trò A và trò B ở có gần nhau hay không?” Trò A trả lời: Dạ, em ở cách B khoảng 100m. Trò B thì nói: Em ở cùng một xóm với trò A. Hai trò cũng nói lên một ý: Nhà của chúng khá gần nhau. Tuy nhiên mỗi trò diễn tả một cách. Trò A dùng ngôn ngữ “mêtric = khoảng cách”, trò B nói theo giọng điệu “tô pô”. Ta biết về mặt toán học, khái niệm tôpô tổng quát hơn “mêtric”.
- Nhưng tô pô là gì? Nói một cách nôm na, tô pô là môn học nghiên cứu những cái không thay đổi (bất biến) qua các phép biến dạng liên tục. Bạn hãy lấy một mảnh cao su, trên đó vẽ các đường thẳng, đường cong, hình tròn, hình chữ nhật, hình vuông, vẽ các điểm lung tung trên miếng cao su này. Sau đó bạn kéo dãn hay co lại, vặn vẹo miếng cao su (nhưng nhớ đừng làm rách vì chỉ được biến dạng liên tục) và xem thử cái gì bị thay đổi, cái gì không? Rõ ràng tròn, vuông, thẳng, cong trên miếng cao su không còn giữ nguyên qua bàn tay của bạn. Chỉ thấy những điểm nằm trong hình tròn chẳng hạn, dù bạn có kéo dãn miếng cao su kiểu gì thì các điểm này vẫn nằm trong cái đường cong kín tạo ra bởi đường tròn ban đầu ...
- Khái niệm hai mêtric tương đương tôpô. Ta thấy rằng mọi mêtric đã cho trên một tập luôn luôn tương đương với một mêtric bị chặn. Thật vậy, nếu d(x,y) là một mêtric cho trên X thì d*(x,y) =min (d(x,y), 1) là một mêtric bị chặn, tương đương với d(x,y). Việc chứng minh chặt chẽ theo logic toán học thì không có điều gì cần bàn cãi, tuy nhiên về mặt trực giác, người học có điều gì chưa yên tâm. Chúng ta có thể giải thích thêm là việc khảo sát giới hạn có ý nghĩa nếu các đối tượng ấy đủ gần với nhau, còn đã xa với một khoảng cách nào đó rồi thì xa thêm cũng chẳng quan trọng gì. Một ví dụ thực tế để minh họa như sau: Thời trước, việc tiếp xúc, liên lạc cá nhân trong nước với nước ngoài có những mức độ khó khăn khác nhau. Giả sử d(x,y) là con số biểu thị mức độ liên lạc tình cảm giữa anh x và chi y. Khi họ cùng ở trong nước (xem như là khá gần nhau) thì d(x,y) và d*(x,y) có thể xem như nhau, nhưng khi x ở Việt Nam, còn y ra nước ngoài, dù gần như ở Lào hay xa ở Mỹ thì lúc ấy giữa x và y cũng xem như là xa "vời vợi". Do vậy, ra khỏi một phạm vi nào đó, d(x,y) không đóng vai trò quan trọng nhiều trong việc khảo sát sự gần nhau vì đã xa thì đằng nào cũng xa rồi.

4. Cố tình lạm dụng từ ngữ, thuật ngữ.

Ta nhận thấy các khái niệm và ngôn ngữ toán học được xây dựng, trình bày rất rõ ràng, chính xác. Cho dù chuyển dịch sang bất cứ tiếng nói của nước nào, người ta không mắc phải những nhầm lẫn, mơ hồ. Việc đánh đồng ngôn ngữ toán học với ngôn ngữ bình thường nói chung là không nên, chẳng hạn khái niệm “đếm được” trong toán và ngoài toán thì khác nhau. Tuy nhiên trong một số ngữ cảnh nhất định, việc lạm dụng ngôn ngữ đời thường đưa vào toán hoặc từ toán ra đời thường có thể hợp lý và giúp người học thay đổi không khí học tập.
- Đưa ngôn ngữ đời thường vào toán: Khi nghiên cứu một cấu trúc toán học nào đó, thông thường phải lo việc “nội trị” trước rồi mới làm công tác “ngoại giao”. Chúng ta hãy nhớ lại đôi chút về cấu trúc toán học sơ khai, đơn giản nhất là tập hợp. Sau khi xử lý các vấn đề liên quan đến phần tử một tập và các phép toán về tập hợp trên các họ hàng gần gũi với nó, ta phái sứ bộ đi nơi khác để thăm dò, đó là thiết lập khái niệm ánh xạ từ tập này đến tập kia. Tương tự như vậy, khi định nghĩa nhóm, ta lập các đồng cấu nhóm, định nghĩa không gian mêtric ta xét đến ánh xạ liên tục..... Nói chung các mối quan hệ ngoại giao này phải đảm bảo được nghi thức và thông hiểu nhau, chẳng hạn phần tử trung tính, phần tử đối trong nhóm này phải ứng với phần tử trung tính, phần tử đối của nhóm kia; dãy trong không gian mêtric này hội tụ thì cũng chuyển thành dãy hội tụ trong không gian kia...
Để có được điều này, các ánh xạ phải “bảo toàn” cấu trúc của đối tượng toán học đang xét. Bây giờ trở lại với ánh xạ tuyến tính liên tục. Nếu sinh viên nắm được kỹ tư tưởng thì ngay tên gọi đã diễn ra đầy đủ nội dung:
· Ánh xạ: Quan hệ thông thường giữa hai tập.
· Tuyến tính: “Bảo toàn” cấu trúc không gian vectơ.
· Liên tục: “Bảo toàn” cấu trúc không gian mêtric.
Vậy ánh xạ tuyến tính liên tục A từ không gian định chuẩn X đến không gian định chuẩn Y là ánh xạ thoả mãn 3 điều nói trên.
Trong thực tế, việc này không khác với việc 2 quốc gia thiết lập quan hệ ngoại giao với nhau, những đối tác trong từng lãnh vực sẽ làm việc với nhau như giáo dục, kinh tế, quốc phòng, thương mại,…
- Thông thường mỗi toán thể khi xây dựng thì có khái niệm toán thể con đi kèm, ví dụ như nhóm thì có nhóm con, không gian định chuẩn thì có không gian định chuẩn con,v.v… Chúng xem như là những vật thể sinh sản vô tính. Tuy vậy, cũng có những toán thể được tạo ra từ những cặp tóan thể khác, chẳng hạn "nhóm các đồng cấu từ nhóm X vào nhóm Y", không gian L(X,Y) là tập hợp tất cả các ánh xạ tuyến tính liên tục từ không gian X vào không gian Y, v.v…. Minh họa: Để bắt đầu một định lý của Giải tích hàm: "Nếu Y là một không gian Banach, X là không gian định chuẩn tùy ý thì L(X,Y) là một không gian Banach", ta có thể dẫn nhập như sau: Từ 2 không gian định chuẩn bố là X, mẹ là Y sinh ra không gian L(X,Y), ta xem thử đứa con này có thừa hưởng gen di truyền nào của bố, mẹ không? Với phát biểu của định lý trên, ta thấy "đức tính Banach" được di truyền từ mẹ sang con, tính di truyền thể hiện rõ nét trong phần chứng minh định lý. Có lẽ chỉ cần dẫn nhập như vậy vừa giúp cho sinh viên đỡ chán vừa giúp họ nhớ lâu, đặc biệt có thể vận dụng "tính di truyền" này khi chứng minh định lý ấy.
- Đưa ngôn ngữ toán vào đời thường: Thực hiện nghịch đảo hoặc lấy liên hiệp của tích hai ánh xạ, toán tử được đưa vào trong cuộc sống như là làm ngược lại một quy trình nào đó. Từ công thức (gof)-1 = f -1og-1 hay (BoA)* = A*oB*, ta có thể minh họa chúng bằng những hoạt động quen thuộc, chẳng hạn như gof là động tác mang tất f rồi mang giày g để đi làm nhưng khi về nhà thực hiện cởi giày vớ thì làm theo chiều ngược lại (gof)-1 = f -1og-1 : cởi giày g-1 trước mới cởi tất f-1 ra. Tương tự, muốn ra khỏi nhà thì phải khóa cửa phòng rồi mới khóa cửa ngõ nhưng khi về thì mở của ngõ trước rồi mở của phòng sau.
- Nghịch đảo của tích nhiều ánh xạ (toán tử) thì bằng tích các nghịch đảo các ánh xạ nhưng theo thứ tự ngược lại: (fogohok)-1= k -1 oh -1 g -1 of -1 , chỉ cần minh họa bằng động tác tháo ra và ráp lại súng như khi học quân sự thì sinh viên sẽ hiểu và nhớ ngay.
- Những cách nói “túi tiền của mình là tập rỗng”, “chuyện ấy chỉ là ép-si-lon, không đáng để ý”, “tình cảm của bọn chúng phức tạp lắm, như một phương trình vô nghiệm,…” có thể được sinh viên dùng nhưng ít mang nội hàm toán học.
...(còn tiếp)...

Mục này sẽ trích đăng bài viết "Một số kinh nghiệm trong việc liên hệ các yếu tố toán học với thực tiễn" của PGS.TS Nguyễn Hoàng
1. Minh hoạ nhờ chuyện cổ tích, chuyện vui.
Nhiều chuyện cổ tích trong và ngoài nước đôi khi ẩn chứa một sự kiện toán học nào đó ta có thể khai thác để kể trong lúc giảng bài đến chủ đề phù hợp. Vài ví dụ quen thuộc có thể dẫn ra như sau:
- Chuyện Vương Khải và Thạch Sùng khoe của: "Nhà anh có bất cứ bảo vật gì thì nhà tôi cũng có," Thạch Sùng tuyên bố. Vương Khải chấp nhận thách thức đánh cuộc để rồi cuối cùng Thạch Sùng ôm hận thất bại vì còn thiếu mẻ kho, có thể minh hoạ hai tập hợp không có cùng lực lượng.
- Chuyện về nhân vật Nasreddin của xứ sở BaTư. Một lần, nhà thông thái hỏi Nasreddin rằng, có bao nhiêu sợi lông trên đuôi con lừa mà ông ta đang cưỡi. Nasreddin trả lời rằng nó đúng bằng số râu của nhà thông thái. Khi yêu cầu chứng minh, Nasreddin bảo như sau: "Cứ mỗi lần ông nhổ một sợi lông trên đuôi lừa, tôi sẽ nhổ một sợi râu của ông. Chừng nào đuôi lừa trụi lông thì râu ông cũng sẽ hết. Đó là chứng minh".
Như vậy, ta có ví dụ về cách chứng minh 2 tập có cùng lực lượng bằng việc thực hiện một song ánh.
- Câu chuyện về anh chàng cạo râu không tự cạo cho mình: Chúng ta biết rằng, khái niệm "tập hợp" ban đầu được dùng rộng rãi nhưng chẳng mấy chốc người ta thấy rằng nó cũng lộn xộn, mâu thuẫn. Có ông thợ cạo, vốn là cư dân của làng Toán, tuyên bố: "Tôi chỉ cạo râu cho những người đàn ông nào của làng Toán mà không tự cạo râu". Như thế các đấng nam nhi của làng Toán chia làm 2 nhóm: nhóm tự cạo râu và nhóm không tự cạo râu. Vậy thì ông thợ cạo thuộc nhóm nào đây? Nếu thuộc nhóm 1 tức là nhóm tự cạo râu nên ông không cạo cho những người tự cạo râu, tức là ông không cạo cho ông. Nhưng nếu như vậy thì ông thuộc nhóm hai. Nếu ở nhóm 2 thì ông sẽ cạo râu cho ông vì ông cạo râu cho những người thuộc nhóm 2. Lúc đó hoá ra ông lại tự cao râu cho mình. Té ra ông ấy thuộc loại đại khó tính, xếp vào nhóm nào cũng gặp mâu thuẫn cả! Câu chuyện này minh họa cho mâu thuẫn khi xét đến "Tập hợp của tất cả các tập hợp".
2. Minh hoạ nhờ ca dao, văn thơ.
- Chuyện vuông, tròn: Khi mô tả hình cầu đơn vị trong không gian Rn theo các mêtric khác nhau, chúng ta có các hình cầu thông thường hay hình lập phương đều được gọi chung là hình cầu. Chúng nó là tròn hay vuông tuỳ theo ta chọn mêtric loại gì, nghĩa là tròn, vuông phụ thuộc vào chủ quan của con người. Cũng vậy, hình tròn đơn vị trong mặt phẳng R2 với hệ toạ độ Đề các là tập {(x,y) x2 + y2 £ 1} nhưng trong toạ độ cực thì nó chính là hình chữ nhật [0,2p] x [0,1]. Câu ca dao thích hợp cho các trường hợp này là:
“Thương nhau củ ấu cũng tròn,
Ghét nhau quả bồ hòn cũng méo”
vì chưng tròn hay méo phụ thuộc chủ quan, tình cảm hay hệ quy chiếu của chủ thể.
- Việc diễn tả tính phụ thuộc liên tục nghiệm của phương trình theo dữ kiện ban đầu (tức là sự ảnh hưởng, tác động của môi trường lên nghiệm của phương trình) có thể diễn tả bằng câu “Gần mực thì đen, gần đèn thì sáng” hoặc “ Ở bầu thì tròn, ở ống thì dài”.
- Diễn tả 2 chuẩn (hoặc 2 mêtric) cho trên một tập không tương đương với nhau, ta có thể dùng thành ngữ “Gần nhà, xa cửa ngõ”, (trường hợp giữa hai nhà có một giòng sông chia đôi, khoảng cách một bên tính theo đường chim bay, một bên tính theo thời gian đi thực tế, chẳng hạn) hoặc bài thơ “Xa cách” của Xuân Diệu:
“ Có một dạo anh ngồi xa em quá
Anh bảo em ngồi xích lại gần hơn.
Em ngồi gần anh lại thấy xa hơn... "
Đó là do 2 mêtric hình học và mêtric tình cảm giữa các đối tượng "anh, em" không tương đương.
...(còn tiếp)...